QS - Cálculo de distancias a Luna y Sol, y el radio terrestre... ¡con dos palos y un mapa!

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Vamos a realizar un típico cálculo que podría atribuirse como de los mayores logros en astronomía en su época (concretamente al 300-200 a.C.), basado únicamente en ideas simples pero bien conectadas, y algo de trigonometría para resolver cuantitativamente. Vemos como el pensamiento y el razonamiento matemático están siempre tan unidos en física.

Primeramente, Aristarco dedujo proporciones en cuanto a distancias entre el conjunto Tierra-Luna-Sol, en proporción al radio terrestre. Finalmente, se podría resolver unos 100 años después, cuando Eratóstenes dedujo el radio terrestre de una manera también puramente trigonométrica. Nosotros lo haremos al revés, veamos primero el valor del radio terrestre de Eratóstenes y después lo llevaremos a los valores de Aristarco, para seguir un orden lógico-matemático en vez de uno histórico.

Radio terrestre:

Eratóstenes se basó en la idea de que, dado que el sol se encuentra muy muy lejos (1 Unidad Astronómica: $1.5\cdot 10^8$ km), podemos suponer que aunque en sus proximidades la radiación solar siga el supuesto de ondas esféricas, a la hora de llegar a la Tierra ya se puede suponer que el radio de estas circunferencias concéntricas ha crecido tanto que tiende a un plano (supuesto de ondas planas, muy utilizado en astrofísica y en aplicaciones de acústica y óptica).

Dicho eso, podemos suponer que a cualquier lugar de la Tierra llegan rayos solares paralelos, con lo que si colocamos dos estacas en dos ciudades suficientemente separadas (pero del mismo meridiano) y que señalen precisamente al centro de la tierra (las colocas perpendicularmente), entonces al medir la distancia de las sombras además de las estacas nos quedará algo así:

Así, al conocer todo lo referente al triángulo estaca-sombra, podemos calcular en ambas ciudades el valor de los ángulos $\alpha$ y $\beta$ , conque si unimos el triángulo formado por las dos estacas y la sombra de una de ellas como indica el dibujo, solo desconoceremos el ángulo $\gamma$ , ya que el otro ángulo que no es $\beta$ puede calcularse de forma trivial, ya que una línea recta forma un ángulo de 180º = $\pi$ , conque aplicando esto sabemos que el valor de ese ángulo es: $\pi - \alpha$

Así, como los ángulos interiores de un triángulo deben valer , sustituyendo queda:

$\pi = (\pi - \alpha) + \beta + \gamma$ (1)

Y tachando los pi y reordenando, queda:

$\gamma = \alpha - \beta$ (2)

Así, como ahora conocemos el valor de , dado que

$R_T = \frac{d}{\gamma}$ (3)

Podemos calcular el valor del radio terrestre si conocemos d, que sería el arco de la circunferencia que forma el ángulo gamma, esto es, la distancia entre las dos ciudades, y esto era algo que puede obtenerse a través de un mapa preciso, por ejemplo.

Distancias Tierra-Luna-Sol:

Lo más fácil sería, para utilizar trigonometría básica (con esto nos referimos a triángulos rectángulos), buscar un momento donde la luna, el sol y la Tierra formasen un triángulo rectángulo. ¿Cuándo podría ser esto? Pues bien, volviendo a Aristarco, se le ocurrió muy ingeniosamente elegir un día de cuarto creciente, porque dado que es cuando se ve exactamente media luna iluminada, querría decir que es el momento en el que el Sol se encuentra en una posición perpendicular a la Tierra, respecto de la Luna. He aquí una figura para verlo claramente:

Así, conociendo el ángulo formado por las rectas T-L y T-S (medible astronómicamente sin dificultad), podría calcularse el ángulo formado por S-L y S-T (180º-90- $\alpha_1$ ), y así relacionar trigonométricamente las distancias Sol-Luna, Sol-Tierra y Tierra-Luna.

Así, se obtuvo que ese ángulo valía 9’ (9 minutos, o sea, 0.15º, lógicamente minúsculo ya que la distancia tierra luna es insignificante en comparación con sus distancias al sol, podría casi decirse que están en línea, pese a haber medio millón de kilómetros de por medio).

Dicho eso, queda que:

$dist(T,S) \approx 385 \cdot dist(T,L)$ (4)

O sea, la distancia de la tierra al sol es más grande que la de la tierra al sol en un factor de 385, aproximadamente 400. Hasta ahora, todo lógico.

Así, en función de los radios (pues nuestro dato es el radio terrestre), queda que, dado que desde nuestro planeta y dadas las distancias, podemos decir que más o menos el tamaño aparente (no absoluto) de los objetos astronómicos Luna y Sol son aproximadamente de 0.5º, entonces ambos radios quedan directamente relacionados como:

$R_S = 385 \cdot R_L \approx 400 \cdot R_L$ (5)

Ya para terminar, como hemos dicho que el diámetro de la Luna desde la Tierra se ve de unos 0.5º desde nuestros telescopios, 720 veces ese ángulo equivaldrían a dar una vuelta completa sobre la Luna, lo que equivaldría a $2 \cdot \pi$ veces la , o sea:

$arc.circunf = 2\pi r \Rightarrow 720 \cdot D_L =2\pi\cdot dist(T,L)$ (6)

Así, como el diámetro es dos veces el radio, ya queda relacionada la distancia Tierra Luna y el radio lunar de forma que:

$dist(T,L) = 720 \cdot R_L / \pi$ (7)

Y análogamente con el sol, de también 0.5º de diámetro aparente:

$dist(T,S) = 720\cdot R_S/\pi$ (8)

Por tanto, tenemos relacionados ya las distancias con los radios, y para juntar todo solo queda esperar a un eclipse lunar (esto es, que la Tierra se encuentre entre el Sol y la Luna y los tres se encuentren en la misma recta), y quedará la siguiente construcción cónica, que dará lugar a una serie de semejanzas de triángulos:

Dicho eso, midiendo el tiempo que tardaba la Luna en cruzar un trozo del cono de sombra terrestre en comparación con lo que tardaba en cubrirse, ya que la primera era el doble de velo, se llegó a que la relación entre los radios de la Luna y Tierra es de 1:2.6 .

Así queda finalmente

$\frac{x}{2.6 \cdot R_L} = \frac{x + dist(T,L)}{R_T} = \frac{(x+dist(T,L) + dist(T,S)}{R_S}$ (9)

Con lo que si introducimos lo calculado en las fórmulas enumeradas anteriormente, podemos poner el radio de la luna en función de la tierra y las distancias en función del radio terrestre, que era el realmente calculado:

$R_L = (401/1440) \cdot R_T$ (10)

$dist(T,S) = (80200/\pi) \cdot R_T$ (11)

$dist(T,L) = (401/2\pi) \cdot R_T$ (12)

Y también el radio solar:

$R_s = (2005/18) \cdot R_T$ (13)

Así, gracias al cálculo del radio terrestre que hizo casi 100 años después Eratóstenes, se pudo completar el legado que dejo expresado matemáticamente Aristarco, además de dejar claro una vez más lo útil que es pensar.

Manuel Ferreira Lorenzo

Estudiante de Ingeniería en Tecnologías Industriales

PD: Me gustaría que me escribieseis (abajo en los comentarios) qué os ha parecido, ya que ha sido mi primer artículo donde meto algo de fórmulas, y las he metido por Latex más o menos como me ha dejado el editor de textos, y para saber si os habéis enterado bien en general. Gracias ante todo!

Bibliografía:

Determinación del radio de la Tierra y de los radios y distancias en el sistema Tierra-Luna-Sol, de Rosa M. Ros (UPB)

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Manuel Ferreira Lorenzo

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Me gradué en Ingeniería en Tecnologías Industriales por la Universidad de Málaga y la Universidad de Vigo. Ahora estudio Física en King’s College London.

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