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Bueno, lo prometido es deuda. Prometí más mecánica cuántica y aquí la tenéis, y qué mejor que con uno de los pilares de ella: el Principio de indeterminación de Heisenberg. Este nos dice que tanto más preciso seas en la determinación de la posición, más incertidumbre crearás alrededor del valor del momento, y viceversa.

Hoy vamos a demostrar este principio de una forma muy simple que aprendí en El Universo Cuántico, de Brian Cox y Jeff Forshaw, donde nos acercan de una forma muy intuitiva a la interpretación de Feynman de esta mecánica.

Antes de nada, ilustremos bajo el típico experimento de dónde sale el problema cuántico a resolver. Si nosotros apuntamos con un haz de electrones (técnicamente partículas, con su masa) a un tabique en el cual se han hecho dos pequeñas ranuras, al otro lado aparecerá un patrón de interferencia, algo típico de las ondas (ya tenemos la paradoja servida: amigos electrones, ¿Sois ondas o sois partículas?). Bien, el patrón de interferencia se entiende muy bien con la teoría ondulatoria, como por ejemplo con ondas en el agua o rayos de luz. ¿Quién no tiene claro que cuando una onda que está subiendo (un pico) interfiere con una que está bajando (un valle) si son estas de de igual altura se cancelan mutuamente? Ahora bien, ¿Y los electrones?

Empecemos. Lo primero es lo primero, uno en física bien sabe que debe hacer uso de algún tipo de representación abstracta, algo que le permita transportar lo que ve en el mundo real (y lo que no ve, como es el caso) al papel, y esta es la labor de las matemáticas. En nuestro caso vamos a utilizar los números complejos o, para seguir la notación  tan divulgativa del libro que he mencionado antes, relojes con una sola manecilla.

Fig. 1: Reloj con una sola manecilla

Para entender el papel de la manecilla de los relojes citados ( o números complejos, si su matemática es muy rigurosa), imaginemos primeramente una onda marina que puede representarse con estos relojes. Pongamos por convenio que las 12 son los picos de altura, las 6 los valles,  las 3 y las 9 valores de altura cero, y así sucesivamente, como se indica a continuación: 

Fig. 2: representación con relojes de una onda cualquiera

Bien, hecho esto, podríamos establecer una regla de suma de nuestros relojes, pues se ve como claramente si sumamos las alturas máximas y mínimas, el resultado es cero, y eso corresponde a sumar un reloj que marca 12 con uno de 6, y lo mismo con 3 y 9. Bien, si extrapolamos esta regla de suma para todos los posibles relojes, llegamos a una suma de números complejos (una suma vectorial de toda la vida), donde como sabemos por la regla de la suma compleja, vale:

Fig. 3: Suma de relojes o suma compleja

De esta forma, vemos que tenemos varios valores de los relojes importantes: la longitud de la manecilla y el ángulo que forma esta respecto a las 12, que corresponden al módulo del vector y a la fase de este (a alguno le parecerá raro porque no se coge, como se suele explicar, respecto a lo que serían las 3, pero como esto es un convenio “nuestro”, ni las matemáticas ni nada nos lo impide). ¿Qué representan estos valores? Lo veremos más adelante.

Dicho esto, ya tenemos una aparamenta que nos permite representar el valor de nuestra onda de agua en cualquier situación, y utilizar una regla de suma para saber cómo quedaría una onda tras darse una interferencia con otras. Ahora bien, nosotros lo que buscamos no es representar una onda de agua (para eso nuestra regla sería algo excesivo, nos llegaría con sumar las alturas las ondas con su signo y arreglado), nosotros buscamos representar con nuestros relojes al electrón, y más concretamente, a la “onda del electrón”. Esto aunque suene raro, viendo los experimentos (que son lo que validan la física y la ciencia en general) no es nada raro: nos permite describir a la perfección el experimento de la interferencia comentado al principio, y otros tantos, así que hay que darlo por válido.

Resumamos antes de seguir: hemos dicho que el electrón se comporta bien como partícula (con propiedades características de estas, como la masa) o bien como onda, con características de la física ondulatoria, y hemos buscado una herramienta matemática (los relojes /números complejos) que nos permite describir nuestra onda en cada punto del espacio a la perfección.

Prosigamos: en 1926, Schrodinger publicó su ecuación de ondas que, al igual que las ondas de agua, caracterizan a cualquier onda, solo que en este caso es de una extraña partícula: una partícula cuántica, y fue Max Born quien unos días después de la publicación se dio cuenta de que el cuadrado de la longitud de la manecilla (que representa perfectamente a nuestra onda de electrón) representaba la probabilidad de encontrar al electrón en dicho punto del espacio.  

Así, si una manecilla marcaba una hora (la que fuese), pero su manecilla era de 1 “unidad de longitud”, entonces se correspondía a una probabilidad del 100% de encontrar la partícula, o sea, de saber con certeza que el electrón estaba en ese punto del espacio, y no en otro.

Ahora bien, ¿Y qué pasa con el ángulo/fase? Bien, bajo experimento se demostró que el ángulo variaba en contra de las manecillas del reloj (a izquierdas) en un valor:

\theta \sim \ \frac{m\cdot x^2}{t} (1)

El símbolo \sim significa “de aproximadamente”, y es que es interesante ver qué quiere decir dar una vuelta completa. En un reloj usual una vuelta completa sería por el hecho de que pasa una hora, por ejemplo, y nuestra escala son los minutos. Una vuelta serían 60 minutos ¿Pero en nuestro reloj cuántico? Lo interesante de esto es que la constante que pone la escala es como no la constante de Planck, que tiene un valor minúsculo

6,62607015\cdot exp(-34) (2)

Así, el valor real del giro sería:

\theta = \frac {m\cdot x^2} {2ht} (3)

Esto ya nos dice mucho aunque no lo parezca, y ya tenemos lo suficiente para adentrarnos en un caso “cuántico” particular

Imaginemos que tenemos una única partícula de la que conocemos su posición a la perfección (esto es, la manecilla mide 1 unidad -> 100% probabilidad de encontrar al electrón ahí). ¿Qué sucede en un tiempo posterior “ t+ ”? Que la partícula que antes teníamos identificada a la perfección con nuestro solitario reloj, ahora se ha convertido en una infinidad de relojes, regidos bajo la regla de la fórmula (3). En cada punto del espacio aparecerá un reloj diferente, con un ángulo nuevo tal y como indica (3) y de longitud menor (no tendría sentido que mantuviesen el 100% todos los relojes, pero esto lo dejaremos para otro artículo porque este ya es suficientemente denso; solo importa que es menor).

Ahora viene nuestro querido y amigo Heisenberg, y es donde “vamos a encontrar la pólvora”, como decía mi profesor de Física I: imaginemos ahora que no tenemos a nuestra partícula localizada (empezamos con los términos probabilistas que tanto ama la cuántica), como ilustra la figura:

Fig. 5: Partícula desmoralizada y su dinámica temporal

La partícula sabemos que se encuentra en la región \Delta x (la Delta hace referencia a la  incertidumbre), conque entre todas las agujas de los relojes dan un valor del 100%, y en nuestro caso todas se encuentran apuntando a las 12 (esto quiere decir que es equiprobable y que la partícula se encuentra en reposo). Dicho esto, si utilizamos nuestra fórmula (3), podemos calcular el valor del giro para todos los relojes.

Hemos dibujado solo tres relojes, pero dado que \Delta x pertenece a la recta real, y esta es infinita, hay infinitos relojes dentro. Así, poniendo valores, supongamos que los valores de distancias son del orden de la constante de Planck (es la que hemos dicho que marca nuestra “escala cuántica”), y que \Delta x << x. De esta forma, si por ejemplo x = 10h y \Delta x = 0.2h, entonces aplicando nuestra regla de los ángulos y dándole importancia solo al término e x, para ver cómo se sumarían todos los relojes en el punto alejado X, quedaría:

  • El reloj uno daría unas 10^2 = 100 vueltas
  • El reloj 2 daría unas (10,1)^2 = 102 vueltas aprox.
  • El reloj 3 daría unas (10,2)^'' = 104 vueltas aprox.

Así, se ve que lo debido a los relojes 1, 2 y 3, como dan vueltas enteras, quedaría igualmente marcando las 12 el reloj en X, pero con una aguja de mayor tamaño (más probabilidad). Los infinitos relojes que están por medio, podría verse que, sumando absolutamente todos, terminaría quedando con ángulos en todas las direcciones, o sea, sucede una “orgía de interferencia cuántica”, en palabras del doctor de Oxford James Binney, y por tanto el valor de la manecilla sería de aproximadamente cero, o lo que es lo mismo, de una probabilidad tendiente a cero de encontrar nuestra partícula cuántica allí.

Así, amigos míos, veis como la cuántica deja claro que tampoco es tan corriente hacer “teletransportaciones”, pues no vemos a nuestro perro aparecer de repente fuera del jardín debido a un efecto túnel cuántico. Entonces, ¿Qué tiene que ver Heisenberg aquí?

Bien, al grano: se ve que la aparición de esta “orgía de interferencia” se da porque se dan múltiples vueltas enteras a los relojes, así que pongamos el caso extremo: que nunca se llega a dar siquiera una vuelta (es claro que si se tiene un reloj que marque las 12 y otro las 3, su suma sería la 1 y media, impidiendo que se de esta orgía cuántica, y dando así una probabilidad distinta de cero).

Así, calculemos el valor límite para que no se dé ni una vuelta, y sería que la diferencia de fases entre el reloj 1 y 3 (que delimitan la región donde sabemos que está la partícula) sea inferior a una vuelta. Esto es:

Reloj 1: \theta_1 = \frac {mx^2}{2ht} (4)

y

Reloj 3: \theta_3 = \frac {m(x+\Delta x)^2}{2ht} (5)

Y por tanto la diferencia:

\theta_3 - \theta_1 < 1

Si aproximamos, sabiendo que \Delta x < <1, y que por tanto elevado al cuadrado será un número aún más pequeño (despreciable), entonces estaremos de acuerdo en que queda:

\frac{mx\Delta x}{ht} < 1 (6)

Así, y como sabemos por la definición de momento lineal o cantidad de movimiento, queda:

\frac{p \Delta x}{h} < 1 (7)

Y vemos que ya se parece mucho al principio de indeterminación, pero claro, ¿Dónde aparece una incertidumbre también en v? Bien, muy fácil, pues como ya se ve en (6), al aumentar el tiempo que transcurre desde el momento inicial, x debe aumentar para garantizar la ecuación (al ser inversa y directamente proporcionales), lo que invita a pensar en una velocidad, en un desplazamiento con el tiempo, y de hecho lo es. Y claro, como se ve que la v aumenta conforme disminuye \Delta x, se ve que a una mayor precisión en el conocimiento de la precisión (o sea, un menor \Delta x), la partícula se aleja cada vez más de su posición inicial, incrementando la incertidumbre ahora de esta.

 Y claro, como al principio estamos seguros de que la partícula se encuentra en \Delta x, en un instante posterior puede que esté en alguna parte de la región ahora más grande x, y digo puede porque es una probabilidad (puede haber preferido quedarse quieta, tomando el sol ☀️ ), con lo cual puede que haya alcanzado cierta velocidad y así momento p, delimitado por h/\Delta x 

Por tanto, como no hay certeza en si se ha dado este desplazamiento en un determinado tiempo, tampoco puede haberlo en su cantidad de movimiento, dando como resultado una indeterminación también en el momento (\Delta p) y así alcanzando una buena aproximación al principio de incertidumbre de Heisenberg, al que hemos llegado gracias a los resultados experimentales junto con nuestra simple regla de relojes:

\Delta p \Delta x \approx h (8)

PD: Si queréis saber más, por ejemplo la probabilidad de que objetos macroscópicos como un pelo sufran efecto túnel, o que por ejemplo hablemos de cómo entiende la cuántica la dinámica clásica, dejad un comentario indicándolo. ¡Muchas gracias!

Manuel Ferreira Lorenzo

Estudiante de Ingeniería en Tecnologías Industriales,

Málaga

Bibliografía:

El Universo Cuántico, de Brian Cox y Jeff Forshaw (¡MUY recomendado!)

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