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Introducción a las coordenadas en la relatividad especial

En este artículo continuaremos profundizando en la teoría de la relatividad especial. Anteriormente, se expusieron las hipótesis fundamentales de esta teoría. A continuación, aplicaremos dichas hipótesis para obtener las transformaciones de Lorentz.

Para fijar un poco el rumbo que se va a seguir, ha de decirse que dentro de la física, la mecánica estudia el movimiento de los cuerpos, así como las causas de dicho movimiento. A su vez, la mecánica se divide en dos ramas. La cinemática, que estudia únicamente el movimiento de los cuerpos, sin atender a sus causas; y la dinámica, que tiene en cuenta también las causas de dicho movimiento. Por ello, en la cinemática, suelen aparecer tiempos, posiciones, velocidades y aceleraciones; mientras que en la dinámica, aparecen, además, masas, fuerzas, cantidades de movimiento, momentos de inercia, etc.

Concepto de coordenada

En primer lugar, definiremos aquellas coordenadas que permiten situar un suceso con respecto a un observador, de tal forma que dichas coordenadas dependan del observador al que estén referidas. Si existiera una que fuese independiente del observador, dejaría de ser una coordenada y pasaría a ser considerada una variable. Esta variable, a su vez, puede ser dependiente de otras variables, o independiente.

Sistemas de referencia inerciales

El concepto de coordenada está ligado al estudio de los espacios vectoriales dentro del ámbito del álgebra lineal. Sin embargo, por simplicidad, nos alejaremos de la definición rigurosa, y trataremos las coordenadas como aquellas variables que dependen del observador que las mida; existiendo una relación (sinónimo de ecuación) tal que, conocido el valor de las coordenadas en un sistema inercial, permita conocer el valor de las mismas referidas a otro sistema de referencia inercial.

De esta manera, conociendo las coordenadas respecto de un sistema inercial cualquiera, se podrán obtener en otro sistema inercial distinto, conociendo las relaciones cinemáticas (de posición y velocidad, ya que al ser inerciales no hay aceleración) que existen entre ambos sistemas.

En posteriores artículos, se obtendrán las relaciones que existen entre las velocidades que dos sistemas de referencia inerciales distintos miden de un mismo móvil. También se hallarán las relaciones entre las aceleraciones que dichos sistemas miden de un mismo móvil (objeto que se mueve). Finalmente, se procederá a analizar las relaciones que existen entre las magnitudes dinámicas y energéticas.

Concepto de partícula

En todo instante se tratarán las ecuaciones desde el punto de vista de la mecánica de partículas, donde los eventos que se considerarán serán la percepción de una partícula (punto matemático). Es decir, los observadores situarán espacio-temporalmente una partícula dentro de su sistema de coordenadas. Dirán a que distancias x, y, z se encuentra la partícula del origen y medirán los tiempos que transcurren entre dos posiciones distintas de la partícula.

Surgen dos dilemas que no serán tratados en este artículo. El primero hace referencia a la necesidad de desarrollar una métrica (forma de medir distancias) en un espacio-tiempo cuatridimensional (tres coordenadas espaciales más una temporal). Ya que en el espacio tridimensional euclídeo tradicional, la distancia estaba definida por la norma (léase módulo) del vector que une dos puntos. Sin embargo, en este nuevo espacio-tiempo, dos eventos situados en una misma posición pero que ocurren en distintos instantes (separados temporalmente), tienen una cierta distancia distinta de cero. El segundo se refiere al hecho de que una partícula (que no ocupa volumen alguno al tener dimensión nula, por ser un punto matemático) tenga masa, ya que su densidad (masa/volumen) sería infinita. A pesar de la divergencia de la densidad y de la imposibilidad de que se dé la existencia de una partícula con masa en la realidad, es una aproximación. Por ello, puede entenderse como partícula el punto que representa el centro de masas de un objeto muy pequeño.

Cono de luz

Enunciando el problema base de la relatividad especial

Considérense dos sistemas de referencia, SA y SB, ambos con sus respectivos tiempos, tA y tB, y con los ejes OX, OY y OZ paralelos entre ambos sistemas. Además, en un instante dado, los orígenes de ambos sistemas coincidirán, así como los ejes coordenados, dos a dos; dicho instante se tomará como origen de tiempos en ambos sistemas, esto es, tA=tB=0. Además, se considerará que el sistema SB se mueve con velocidad, v, constante, según la dirección del eje OX, respecto del sistema SA, que se supondrá en reposo. Se partirá de las siguientes ecuaciones, donde las variables p, q, r y s han de hallarse a partir de las hipótesis expuestas en el anterior artículo.

\begin{pmatrix}t_{B}\\x_{B}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p & q\\r & s\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{A}\\x_{A}\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}t_{A}\\x_{A}\end{pmatrix}=\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s & -q\\-r & p\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{B}\\x_{B}\end{pmatrix}

La segunda ecuación se ha obtenido premultiplicando por la matriz inversa del cambio de coordenadas en ambos términos de la primera ecuación. Se ha supuesto una relación de cambio lineal debido a la homogeneidad de espacio y tiempo, lo cual impide la existencia de relaciones de orden superior. En caso de que esta u otra hipótesis cualquiera sea errónea, los resultados obtenidos no serán válidos, como ya se explicó.

Evaluando en los orígenes de coordenadas

En primer lugar, se evaluarán las ecuaciones en los orígenes de ambos sistemas de referencia. El origen de SA tiene coordenadas xA=0 y xB=-v·tB; mientras que el origen de SB tiene coordenadas xB=0 y xA=v·tA. Introduciendo lo dicho en las ecuaciones anteriores, se llega a la expresión siguiente.

\begin{pmatrix}t_{B}\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p & q\\r & s\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{A}\\v\cdot t_{A}\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}t_{A}\\0\end{pmatrix}=\frac{1}{ps-qr}\begin{pmatrix}s & -q\\-r & p\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{B}\\-v \cdot t_{B}\end{pmatrix}

Resolviendo estas últimas expresiones, se llega a los siguientes resultados:

r=-v \cdot s \; ; \;  r=-v\cdot p \Rightarrow s=p

Aplicando la hipótesis IV de la relatividad especial

En segundo lugar, se aplicará la hipótesis IV expuesta en el apartado anterior, para lo que se tomarán las medidas de una partícula que viaja a la velocidad de la luz, c, coincidente en el instante inicial con los orígenes de ambos sistemas y que se mueve según el eje x de dichos sistemas. Ha de recordarse que los ejes de ambos sistemas permanecen paralelos en todo instante. Y que los ejes OX y OX´, además de paralelos, permanecen superpuestos en todo instante. A continuación se plantea el desarrollo y las conclusiones, obtenidas sin más que dividir las expresiones finales a las que se llega.

\begin{pmatrix}t_{B}\\c\cdot t_{B}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p & q\\r & p(=s)\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{A}\\c\cdot t_{A}\end{pmatrix}\Rightarrow \left\{\begin{matrix}t_{B}=(p+q\cdot c)\cdot t_{A}\\c\cdot t_{B}=(r+p\cdot c)\cdot t_{A}\end{matrix}\right.

Sin más que dividir las expresiones a las que se llega, se obtiene el siguiente resultado:

r=q\cdot c^{2}

Se recomienda al lector realizar las operaciones y, en caso de tener cualquier duda, dejarla reflejada en los comentarios. De este modo, puede verificarse si se está siguiendo el procedimiento. Así mismo, cualquier paso que aquí se de por supuesto y cuyo fundamento se desconozca, será respondido en los comentarios.

Obteniendo las expresiones finales de la relatividad especial

Con lo visto hasta ahora, pueden expresarse tres de las cuatro incógnitas en función de la restante. Por convenio, se expresará todo en función de la incógnita p, y en las siguientes ecuaciones quedan recogidas las expresiones de partida en función sólo de p.

\begin{pmatrix}t_{B}\\x_{B}\end{pmatrix}=p\begin{pmatrix}1 & \frac{-v}{c^{2}}\\-v & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{A}\\x_{A}\end{pmatrix} y \begin{pmatrix}t_{A}\\x_{A}\end{pmatrix}=\frac{1}{p(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})}\begin{pmatrix}1 & \frac{v}{c^{2}}\\v & 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}t_{B}\\x_{B}\end{pmatrix}

Aplicando la hipótesis III de la relatividad especial

Finalmente, para determinar el valor de p se aplicará el enunciado de la hipótesis III, según lo cual, la matriz para pasar del sistema A al sistema B ha de ser “equivalente” a la matriz para pasar de B a A. El término equivalente mencionado hace referencia a que la única diferencia ha de ser la del término de velocidad, ya que, si el sistema SA mide una velocidad v según el sentido positivo de su eje x, el sistema SB ha de medir una velocidad igual y de signo opuesto (dado que los ejes OX de ambos sistemas tienen sus sentidos positivos orientados de igual manera) que representa la velocidad medida desde B con que se aleja A.

Observando las expresiones anteriores, se ve que al sustituir v por -v en la segunda, para que simplemente con ese cambio la matriz obtenida sea la inversa de la de partida, el coeficiente que premultiplica a ambas matrices ha de ser idéntico. Con ello, se llega a la siguiente expresión.

p=\frac{1}{p(1-\frac{v^{2}}{c^{2}})}\Rightarrow p=\gamma =\frac{1}{\sqrt[]{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}

Finalmente, habiendo obtenido los valores de todas las incógnitas, se expresa la forma final de las ecuaciones de la transformación de Lorentz.

\left\{\begin{matrix}t_{B}=\gamma (t_{A}-\frac{v}{c^{2}} x_{A})\\x_{B}=\gamma (x_{A}-vt_{A})\end{matrix}\right. y \left\{\begin{matrix}t_{A}=\gamma (t_{B}+\frac{v}{c^{2}} x_{B})\\x_{A}=\gamma (x_{B}+vt_{B})\end{matrix}\right.

Conclusiones

Por ahora, se ha hecho uso de las hipótesis realizadas en el anterior artículo para plantear y resolver las ecuaciones de la relatividad especial que permiten relacionar las coordenadas referidas a distintos sistemas de referencia.

Posteriormente, en los siguientes artículos nos alejaremos un poco del formalismo lingüístico y matemático empleado en este artículo. Por ello, el objetivo será el de discutir desde un tono no tan formal, y en ausencia de fórmulas, la trascendencia de las ecuaciones halladas. También se realizarán ejemplos y observaciones, así como una aproximación a las transformaciones de Galileo de la mecánica clásica a partir de las ecuaciones halladas.

¡¡¡Nos vemos en el siguiente artículo!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler

Carlos Carbajosa Fernández
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