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Obligados a la existencia en un entorno finito, no lo estamos a llevar nuestra mente exclusivamente a lugares dentro de la Tierra. Sin embargo, puede acontecer que esta actividad, no sacie por completo las ganas de hacer que el universo sea un lugar visitable. Existe una forma de averiguar cómo huir de este planeta (o de cualquier otro) si se posee el impulso adecuado. Ni es una idea nueva ni trasciende lo real: surge simplemente de la teoría clásica gravitacional.

En 1687, Isaac Newton publicaba su Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, en el cual aparecía la ley de la inversa del cuadrado de la distancia que hace que se caigan las cosas. La interacción gravitatoria entre dos cuerpos, según él, sigue esta ecuación:

    \[F=G\frac{m_1m_2}{r^2}\]

En la cual F es la fuerza que se ejerce entre una masa M y otra m, separadas una distancia r. La G es la constante de la gravitación universal, constante fundamental de la naturaleza.

En la expresión anterior, solamente se ha considerado el valor de la fuerza como una magnitud escalar —no se ha atendido al hecho de que tiene, además, dirección y sentido— . Sin entrar en consideraciones matemáticas, se entiende que la ecuación vale por sí misma para describir la interacción entre dos o más masas. De todos modos, si queremos comprender realmente lo que supuso la gravedad para los curiosos de hace más de 300 años, conviene imaginarla como un campo vectorial. Si a alguien se le atraganta el álgebra lineal, que intente imaginar el siguiente escenario:

Las flechas son un campo de fuerzas, un campo vectorial, para el caso que nos concierne. Se puede interpretar como si, en cada punto del plano, existiese una fuerza con una dirección dada por cada una de las flechas. Si deseamos describir una trayectoria arbitraria entre dos puntos a y b, la contribución total será la integral de línea de ese campo sobre esa trayectoria. Se muestra en la representación como este cálculo es la suma del área resultante tras recorrer tal camino. La integral, en mecánica, representa al trabajo W (de work en inglés), realizado por la fuerza para llevar una masa del punto a al b.

La idea es que el campo gravitatorio, tal y como lo entendían Newton y sus colegas (mejor dicho, sus compañeros científicos, ya que colegas Newton, tenía pocos), se puede describir como un campo vectorial de esa índole. La característica principal que tiene este es que, si queremos unir dos puntos a y b, sea cual sea la trayectoria que describamos para llegar de uno a otro, la contribución total es la misma para un trayecto cualquiera que para otro diferente. Esto se podría traducir como que la suma de las áreas de la representación anterior para cada uno de los caminos que se escojan es la misma. También se puede pensar de otra forma. Si deformamos una sección de un camino que une a y b, el efecto de trasladar una masa (para el caso concreto de la gravedad), por ese fragmento de sección de trayecto deformado, se debe compensar con el efecto sobre el siguiente fragmento, dando el mismo resultado total que para la curva de partida.

Si se atasca el lector en algunas cosas de las explicadas, quédese con que la mayor peculiaridad de este tipo de construcciones algebraicas es que, la integral de línea dependerá, única y exclusivamente, de los valores final e inicial de la misma. Esto, en lenguaje físico, se traduce en que toda contribución energética para trasladar una partícula entre los puntos extremos de su trayectoria será la resta del valor de la integral en el punto final menos en el inicial. En otra jerga, será su resta de potenciales final menos inicial.

El potencial es una función, una relación entre variables, pero no es una función cualquiera. El potencial no es una mera expresión que esté dentro de esta teoría como un subproducto de estos conceptos. El potencial es La Función. Con él conseguimos una expresión para el campo, pero también se puede conseguir analizar una infinidad de situaciones físicas que se generan dentro de este marco teórico de la interacción gravitatoria. De todos modos, lo más importante, se cumple que:

    \[m \cdot  -\nabla V= m\cdot  \vec{g}\]

Ecuación que muestra que el campo gravitatorio se puede calcular a partir del potencial, a grandes rasgos, derivándolo (el operador \nabla es un gradiente, deriva cada una de las componentes del vector campo). La interpretación de esto sería que la dirección de crecimiento de la función potencial y la magnitud de dicho crecimiento son los mismos que la aceleración de la gravedad (\vec{g}), aunque en sentido contrario. Este tipo de campos se denominan campos conservativos.

Es importante diferenciar entre lo que sería el potencial creado por una masa y el concepto resultante de la interacción de varias. Si consideramos la masa de un solo cuerpo en una determinada región del espacio, solamente tenemos que tener en cuenta la masa de ese cuerpo en la expresión que queramos obtener. Si tenemos en cuenta la de dos, habría dos masas en la ecuación en cuestión. Se suele denominar energía potencial al potencial multiplicado por la otra de las masas (m\cdot V=E_{potencial}). Si una de ellas genera un potencial V en una región, la energía para “colocar” otra masa m en sus proximidades será m\cdot V. En la práctica, lo importante sería conseguir el potencial de una de las masas, y luego multiplicarlo por la constante de la otra de las masas.

El campo de la gravedad en una situación en la cual halla un planeta y otra masa más pequeña (que queramos liberar de la fuerza planetaria) será un campo de fuerzas centrales. Un campo así, pensando en unas coordenadas que sean circulares, con el centro en la masa del planeta, no depende de ángulos, sino solamente del radio de esta circunferencia (la distancia que se aleja del centro). Esto se puede extrapolar a tres dimensiones, considerando un ángulo a mayores, que tampoco será una variable relevante en la expresión de la fuerza. Por lo tanto:

    \[W=m\cdot (-\Delta V)=\int_{\infty }^{R} Fdr=\int_{\infty }^{R} \frac{GMm}{r^2}dr=\frac{-GMm}{R}\]

Se muestra directamente el resultado de la forma anterior. \Delta significa “variación entre dos valores”,en este caso, entre el potencial final e inicial. La única forma de definir el potencial es respecto a una diferencia. Para conseguir una relación con la cual podemos calcular V en la práctica, simplemente consideramos que el punto inicial es el infinito. En el infinito el potencial extremo es cero.

A partir de la expresión anterior, se pueden sacar muchas conclusiones. Entre otras, la que dicta el título del artículo. Si se imagina una disposición como sigue:

Es decir, el campo de gravedad generado por un planeta, aproximable a un cuerpo esférico, se podría suponer que nos encontramos en su superficie. Como la idea del aburrimiento o la angustia terrenal es extrapolable a todo ente sintiente arrojado en el cosmos, se procurará hablar siempre de un planeta general, por ello nuestro discurso no trata en concreto de la Tierra, si no de cualquier masa, dando así, libertad a todo aquel que desee salir del suyo.

Con un poco de ganas de hallar una solución, podemos llegar a intuir la conservación de la energía dentro de la parcela de la realidad que se está aislando. Si esto es así, la energía potencial más la cinética (de movimiento), debe de ser una constante dentro del sistema. Esto quedaría plasmado en la suma:

    \[E_{total}=cte=E_{cinetica}+E_{potencial}=\frac{1}{2}mv^2+G\frac{Mm}{r}\]

Entonces, si nos encontramos en la superficie de un planeta, estaremos sometidos a su potencial. La masa M será la del planeta y m la nuestra. Despreciando la energía de rotación de la tierra, en una primera instancia, tenemos una energía exclusivamente ligada a esta energía potencial, multiplicando por nuestra masa el potencial. No obstante, si de alguna forma tomásemos un impulso que aumentase súbitamente nuestra velocidad en dirección perpendicular a la superficie del planeta, toda esta energía potencial se podría transformar en energía cinética. Si esto es así, habremos conseguido escapar del campo gravitatorio de la esfera planetaria.

    \[\frac{GMm}{r}=\frac{1}{2}mv^2\rightarrow  \frac{GM}{r}=\frac{1}{2}v^2\]

En esta forma, vemos como la ecuación no dependerá de nuestra masa. Si despejamos la velocidad se llega a que esta es igual a:

    \[v_{escape}=\sqrt{\frac{2GM}{R_{planeta}}}\]

Por lo tanto, si llegamos a tener esa velocidad dados esos parámetros, aplicada en una buena dirección, podremos huir de el planeta en cuestión. En concreto, para la Tierra, esta sería de unos 11,19 km/s.

La segunda parte del título de esta entrada, versa sobre cuales serían los límites de este procedimiento. Es probable que el lector no disponga de los medios necesarios para lanzarse al espacio, y que además existan unas cuantas dificultades a mayores, como el rozamiento y muchas otras. Además de que, es posible que tenga que atender a diversas cuestiones sobre derecho de circulación espacial que conllevarían, muy probablemente, demasiado papeleo y un juego burocrático al que no pretendemos aludir en lo que queda del escrito. De todas maneras, sí se puede, dentro de nuestras pretensiones, dar una respuesta a esta pregunta, pero debemos saltar unos cuantos siglos hasta llegar al XX para recoger un concepto Einsteniano.

Sin sumergirse en el maravilloso cambio de paradigma que algunos cracks como Einstein nos cedieron a principios del siglo anterior, se presupone que el lector conoce que la velocidad de la luz es invariante. No importa hacia donde vayas y cuán rápido lo hagas, la luz viaja a c=300,000Km/s en cualquier dirección, respecto a cualquier sistema de referencia. La velocidad de esta onda electromagnética es una constante universal, precepto que se sostiene como real bajo el coste de que el tiempo y el espacio sean relativos, y dependan absolutamente del observador. Pensar que si la velocidad es el espacio recorrido entre el tiempo, y c es igual para todo el mundo, para mantener esta constante, deben variar estas magnitudes.

Newton y sus congéneres, refinados señores del siglo XVII, desconocían este hecho. La base de sus ideas se asentaba bajo el Principio de relatividad de Galileo, en el cual, el tiempo era una magnitud absoluta, lo mismo se aplica para las distancias. De todos modos, pese a no conocer la máxima de la velocidad de la luz, disponían de las herramientas para llegar a ciertas conclusiones las cuales iluminaron a personajes de unos cientos de años más tarde.

Nada con masa viaja a c, solamente la luz, que está formada por fotones, carentes de masa. Si tenemos en cuenta que esta es la velocidad máxima que podemos alcanzar (no incluida) y la velocidad de escape de un cuerpo fuese esta, nunca podremos huir de él. Sustituyendo en la ecuación de la velocidad de escape.

    \[c^2=\frac{2GM}{R_{planeta}}\]

Se puede concluir que si la velocidad de escape es menor que la de la luz, podemos escapar de la atracción gravitatoria del planeta, y que si no lo es, no . No hace falta forzar demasiado la maquinaria cerebral para llegar a esta conclusión, conociendo que c es la mayor velocidad que existe. Ahora bien, manipulando la relación anterior:

    \[2GM=Rc^2\]

Tenemos una ecuación que relaciona la masa del cuerpo en cuestión y la de su radio. Podemos suponer que el volumen del cuerpo en cuestión, si no es esférico, puede ser el mismo que el de una esfera con ese radio. Pero claro, según eso, solamente la luz puede escapar de esa relación de masa y radio. De hecho, se han contado algunas mentiras. Cuando consideramos una velocidad de escape, si sometemos un cuerpo a esa velocidad, en teoría, debería escapar de la barrera de potencial y quedarse en el límite de ella en la práctica, ese límite se trata de un punto inestable, un punto en el cual la irremediable tendencia del universo a llegar al equilibrio haría que esa velocidad fuese la mínima para llegar al límite de la barrera, pero volvería a ser atraído por el potencial. Matemáticamente es correcto, el cuerpo quedaría en un punto inestable, físicamente no ocurre que se quede “quieto”, volvería a su estado anterior (o al siguiente, pero la práctica nos dice que es mejor lanzar cohetes para llegar al espacio a velocidades algo mayores, y no solamente para vencer el rozamiento). De todos modos, a velocidades infinitamente más grandes, pasaría la barrera. Si ha sonado todo demasiado abstracto de palabra, puede quedar claro en el siguiente dibujo:

En el cual, la bola en verde (2), está en un punto inestable y la roja (1) y la azul (3), en puntos estables. Se trata, entonces, de una buena aproximación para el concepto en cuestión. La idea es que, quedarse en (2), a nivel físico en estas condiciones, es complicado.

De este razonamiento se puede extraer que, en cualquier manifestación del universo en la cual haya una relación como la anterior, la luz no podrá escapar. Si el lector conoce ya su definición, se habrá dado cuenta de que el único elemento conocido del universo hasta ahora que no deja escapar la luz ni, consecuentemente, el resto de objetos masivos del universo es un agujero negro. Newton y la peñita del siglo XVII no tomaron este resultado como relevante (si es que lo tomaron), ya que no tenían en cuenta que la velocidad de la luz era la máxima. Lo que ocurrió tres siglos más adelante, no es para nada desdeñable.

La teoría de la relatividad de Einstein se gestó a comienzos del siglo XX. Se presentó con una primera forma, la teoría de la relatividad especial. Esta teoría explicaba un nuevo principio de relatividad diferente al de Galileo, con la característica de la invariancia en c ya comentada. Pero una teoría completa, relacionaba estos conceptos con la gravedad. El espacio y el tiempo en relatividad general son dos caras de la misma moneda. Juegan al ajedrez, según Antonio Vega. Se habla de gravedad, no cómo una fuerza, sino cómo una consecuencia del existir de la materia en un espaciotiempo de cuatro dimensiones, una temporal y tres espaciales. La mayor conclusión de Einstein en su teoría son sus ecuaciones de campo:

    \[R_{\mu \nu}-\frac{1}{2} R g_{\mu \nu}+\Lambda g_{\mu \nu}=\frac{8 \pi \mathrm{G}}{\mathrm{c}^{4}} T_{\mu \nu}\]

No es nuestra intención explicar que significa cada término de la ecuación, pero, a grandes rasgos, el término a la derecha del igual hace referencia a la curvatura del espaciotiempo y, el de la izquierda, a la fuente de la curvatura, la masa y energía. La curvatura del espaciotiempo dicta a la masa cómo moverse y la masa dicta al espacio y el tiempo como curvarse. Cuando hablamos de curvatura del espaciotiempo, no hablamos de que se pueda “ver” como se curvan las cosas por que nosotros somos espacio a lo largo del tiempo, estas ecuaciones nos afectan de la misma forma que al resto de cuerpos en el universo. Aunque solo presentemos una expresión, esta sintetiza diez ecuaciones distintas —y de ahí que hablemos de ecuaciones de campo, en plural— cuyas soluciones son espacios con métricas.

Una métrica es una expresión que determina las propiedades geométricas de un espacio determinado. Por ejemplo, no es la misma métrica la del plano que la de la esfera. Si trazamos líneas en un plano, estas no medirán lo mismo que en una esfera. En concreto, en un espacio euclídeo (plano), llamado así en honor a Euclides, la métrica es la siguiente:

    \[dl^2=dx^2+dy^2\]

En otras palabras, el teorema de Pitágoras. Lo que ocurre es que estamos considerando diferenciales, distancias infinitamente pequeñas. Una forma intuitiva de ver lo que mediría una distancia sería pensar en sumar todas esas pequeñas longitudes, es decir, integrar desde un extremo de la línea al otro. Infinitas sumas de infinitas cantidades infinitamente pequeñas.

Para las ecuaciones de Einstein hay muchas soluciones y, en consecuencia, muchas métricas. Montones de ellas pueden no tener significado físico mientras que otras sí. En concreto, es curioso pensar que, pocos meses después de que Einstein postulase sus ecuaciones en 1916, el físico alemán Karl Schwarzschild, encontrase una solución no trivial, es decir, distinta del espacio euclídeo (con la “métrica del teorema de Pitágoras”). La métrica de esta solución se denomina métrica de Schwarzschild (y creo que no es necesario decir por qué):

    \[g=-c^{2}\left(1-\frac{2 G M}{c^{2} r}\right) \mathrm{d} t \otimes \mathrm{d} t+\left(1-\frac{2 G M}{c^{2} r}\right)^{-1} \mathrm{d} r \otimes \mathrm{d} r+r^{2}\left(\mathrm{d} \theta \otimes \mathrm{d} \theta+\sin ^{2} \theta \mathrm{d} \phi \otimes \mathrm{d} \phi\right)\]

Evidentemente, no procede explicar de dónde sale cada término, pero es importante darse cuenta de que esta, depende de tres coordenadas espaciales, las cuales se presentan en coordenadas esféricas para este caso, con dos ángulos (\phi,\theta) y el radio (r), que serían una transformación de las coordenadas cartesianas (x,y,z). Además de estas, hay una coordenada temporal. Para verlas, ver las expresiones diferenciales (dr,d\phi , d\theta, dt). La métrica de este espaciotiempo tiene cuatro coordenadas. La gracia de haber llegado hasta aquí es ver que la expresión:

    \[r_s =\frac{2GM}{c^2}\]

Al sustituirla en la expresión de la métrica, anula la parte temporal y lleva a infinito la parte espacial del radio. Es fácil ver cómo esto ocurre sustituyéndolo. Este radio se conoce como radio de Schwarzschild . El radio de Schwarzschild es la relación del radio de un cuerpo (si consideramos el valor de su volumen como una esfera) y su masa para la cual la métrica anterior colapsa. En otras palabras, la relación de cualquier cuerpo masivo con su radio, considerándolo esfera, para que se vuelva un agujero negro. El radio de su región geométrica de no retorno, el horizonte de sucesos. Una forma preciosa de representar esto es la que sigue:

En esta representación (extraída del libro Gravity de James B. Hartle) aparece la recta que determina la expresión del radio de Schwarchild de la forma:

    \[M= \frac {r_s c^2}{ 2G}\]

En el eje vertical, está la masa M en gramos en el eje horizontal, el radio en cm. Se repite que podemos considerar todas las distancias como los valores de un radio de una esfera que tenga el mismo volumen que cada elemento de la gráfica, ya que el volumen de una esfera está completamente determinado por su radio. Salta a la vista que, sobre la línea recta de la ecuación en la gráfica, se sitúan únicamente agujeros negros o diversas etapas del universo. La frontera entre la cómoda realidad a la que estamos obligados y su complementario, que podría ser la nada, pero igual no conviene nombrarla por razones filosóficas.

Independientemente de que se haya mostrado más información de la debida para el lector práctico, que solamente quiera conocer de forma inmediata cómo poder escapar de la Tierra, el hecho de poner límites a sus opciones ha cedido también la posibilidad de que pudiese calcular como crear agujeros negros con objetos cotidianos. Otra cosa es que realmente pueda hacerlo. Si no es así, solamente es necesario tener en cuenta que, pese a no ser luz y para este existir el tiempo, no está de más conocer ciertas leyes del universo. Un universo cuyas leyes no necesitan ser supervisadas para ser cumplidas, en el cual, nuestras propias intenciones de entenderlo pueden llegar a concluir, en un lugar determinado el fin del espacio y, en un momento concreto, el fin del tiempo. Sea en un momento y lugar de nuestra historia o en otro, es curioso pensar que tenemos la impresión de poder acercarnos a intentar entender los límites del espaciotiempo.

Por Cadrante de estrelas. Agradecimientos a mi amigo Martiño por la edición (que no fue trivial).

Samuel Gómez Gómez
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