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Introducción

Independientemente de que se siguiese o no el desarrollo matemático del anterior artículo, entre este y el siguiente, trataremos de ver la trascendencia y las consecuencias de las ecuaciones de la relatividad especial.

En primer lugar, veamos que en la mecánica clásica se parten de las mismas premisas I y II. Se supone que tanto el espacio como el tiempo son homogéneos, y, además, que el espacio es igual en todas las direcciones. Sin embargo, no se imponen las premisas III y IV. Sobretodo, no se impone la condición de que la velocidad de la luz constituye un límite para la velocidad, y que su valor es el mismo para cualquier observador inercial que la mida. De hecho, se consideraba que la luz viajaba a una velocidad infinita. Por ello, y debido a la gran magnitud del valor de la velocidad de la luz, no se llegó antes a las ecuaciones halladas en el artículo anterior.

Las ecuaciones de la mecánica clásica resultan una simplificación de las teorías modernas como son la relatividad o la mecánica cuántica. Al tratar problemas cotidianos, como los de objetos que se mueven a velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz, y con un tamaño muy superior al radio atómico, las teorías clásicas proporcionan resultados más que satisfactorios. Este hecho puede verse, como el propio concepto de partícula clásica, punto que representa el centro de masas de un objeto pequeño. El significado de partícula en la teoría cuántica o en otras teorías modernas es muy distinto.

Significado de las expresiones de la relatividad especial

Las ecuaciones a las que se llegó en el anterior artículo relacionan las posiciones que tiene un evento respecto del origen del sistema de coordenadas. Por ejemplo, si en el origen del sistema de coordenadas está situada una persona que describe los eventos con relación a sí misma, podrá decir a qué altura está situado cada evento que ocurra (esto es la coordenada z). A que distancia hacia delante está lo que se mide (esto es la coordenada x). Finalmente, cuánto dista hacia izquierda o derecha de la posición que ocupa la persona (esto es la coordenada y).

Suponiendo que v/c ~ 0, al suponer la velocidad de movimiento del sistema B mucho menor que la de la luz, sería  \gamma ~ 1, y las ecuaciones tomarían la forma de la transformación clásica de Galileo:

\left{\begin{matrix}t_{A}=t_{B}=t\\x_{B}=x_{A}-vt\end{matrix}\right. y \left{\begin{matrix}t_{B}=t_{A}=t\\x_{A}=x_{B}+vt\end{matrix}\right.

En ella se puede observar que el tiempo es independiente del observador que lo mida, por ello, se consideraba en la mecánica clásica que el tiempo era absoluto. Deja de ser una coordenada y pasa a ser una variable independiente. En el espacio euclídeo tridimensional habitual, las coordenadas necesarias para situar un suceso eran tres (x, y, z). Sin embargo, en el espacio-tiempo relativista, son necesarias cuatro coordenadas para poder definir un evento. Al ser el tiempo ahora dependiente del observador inercial al que esté referido el evento, deja de ser una variable independiente y se convierte en una coordenada (x, y, z, t).

Cinemática relativista vs clásica

Veamos la diferencia entre la función del tiempo como coordenada o como variable. En la mecánica clásica, un movimiento genérico de una partícula (concepto que se introdujo en anteriores artículos), sobre la cual actúan un conjunto de factores externos (denominados fuerzas) que logran cambiar su cantidad de movimiento (producto de la velocidad por la masa de la partícula) según la Segunda Ley de Newton. La aplicación de esta ley en la teoría de la relatividad especial se verá en posteriores artículos. El caso es que en cinemática (que es lo que hemos venido tratando hasta el actual artículo), nos despreocupamos de los causantes de la variación de la cantidad de movimiento (que para objetos con masa constante se traduce en un cambio de la velocidad de la partícula con el tiempo, es decir, en una aceleración).

Dinámica

Por ello, hasta ahora se han planteado ecuaciones que no incluyen las fuerzas. Del análisis dinámico se obtendrá el valor de la aceleración en función del tiempo. Integrando dicha aceleración pueden obtenerse los valores de la velocidad y del vector posición (coordenadas x, y, z, t que ocupa la partícula con respecto al origen de coordenadas del sistema inercial que se tome como referencia). Comparando las expresiones a las que se llegue tras dicha integración con las relaciones de Lorentz, de la velocidad y de la aceleración, se obtendrán las ecuaciones de la trayectoria de la partícula.

Puede verse que la función que juega el tiempo en la mecánica clásica y, en particular, en la cinemática, es como un parámetro. Se definen unas ecuaciones (trayectorias) acompañadas de unos valores de tiempo para las que tienen sentido. Por ejemplo, en un tiro vertical, solo tienen sentido las ecuaciones de la trayectoria para tiempos positivos y menores del tiempo que tarda en caer al suelo. Este tiempo es independiente del sistema que se tome, lo único que variarán serán las expresiones.

Sin embargo, en relatividad especial, se vio que el tiempo dependía del observador que lo midiera. Al cambiar de observador, varían los valores de tiempo para los que algo sucede. Deja de ser una variable independiente y pasa a ser una coordenada.

Otras ecuaciones de la relatividad especial

Antes de proseguir, ha de tenerse en cuenta que los ejes OZ y OY de ambos sistemas de referencia permanecen en todo instante paralelos entre sí, por lo que no se han considerado posibles traslaciones en z ni en y. Se haría un análisis similar al realizado hasta este punto y al superponer las tres posibles traslaciones se llegaría a las ecuaciones de la transformación de Poincaré. Estas son las responsables de describir cambios de coordenadas de sistemas relativistas que se mueven uniformemente de forma rectilínea en las tres dimensiones del espacio.

Además, podrían tenerse en cuenta giros relativos entre sendos sistemas de referencia según tres direcciones perpendiculares entre sí. Sin embargo, para simplificar los cálculos, se considerará, como hasta ahora, que zA=zB; y que yA=yB. Se desarrollará toda la teoría considerando que el único movimiento relativo entre sistemas es una traslación horizontal según el eje OX.

Cuando concluyamos con la exposición de toda la teoría simple de la relatividad especial, y finalicemos esta serie de artículos, en caso de que haya gente interesada en que tratemos las ecuaciones en los casos más complejos, lo haremos en una nueva serie.

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. II), de G. Mosca y P. A. Tipler

Carlos Carbajosa Fernández
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