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Introducción

Lo que hoy os traigo verdaderamente merece la pena, tanto porque es algo que os llevará menos de 4 minutos leer como por las consecuencias que esto trae en la forma de ver la lógica en las matemáticas y la filosofía en general.

Antes de nada. ¿Quién es Russell?

Bertrand Arthur William Russell fue un filósofo, escritor (ganó el Premio Nobel de Literatura en los ’50) y, lo que nos interesa, matemático. Realizó trabajos a lo largo del siglo XIX y sobre todo del XX, entre los que destacan:

  • Teoría del conocimiento
  • Ética
  • Filosofía de la Ciencia
  • Lógica y Filosofía de las matemáticas

Además, fue un partícipe activista durante los años previos a la Primera Guerra Mundial, fomentando el pacifismo, así como el socialismo (al menos al principio).

De hecho, tras visitar la Unión Soviética y conocer a Lenin, le dejó “infinitamente descontento con la atmósfera, sofocada por el utilitarismo y totalmente indiferente al amor y la belleza”. Al final de su vida, abogaba por un gobierno mundial de forma entusiasta.

Fig. 1: Retrato de Russell

Bueno, ahora que ya conocéis mejor a Russell, es hora de meterse en materia

La paradoja

Russell se enfocó bastante en impulsar el logicismo, que intentaba basar las matemáticas única y exclusivamente en métodos lógicos. Incluía la idea de la Teoría de Conjuntos de Cantor-Frege, que daban por supuesto lo siguiente:

“Todo predicado definía un conjunto”

Georg Cantor y Gotlob Frege

De esta forma, si nos referíamos por ejemplo a “ser rosa” o “ser redondo”, estaríamos incluyendo en un conjunto a todo aquello que poseyera esa propiedad, en este caso, ser rosa o redondo, respectivamente. Parece evidente a la vez de bello, hasta aquí todo bien.

Pero como no, el que ahonda mucho en algo puede acabar encontrándose algo que quizá no le habría gustado. Le pasó a Einstein con la Teoría Cuántica, pues pese a ser de sus principales promotores en sus inicios de siglo XX, terminó siendo de sus máximos detractores. Pues Russell igual.

Había un predicado particular que contradecía la teoría “no pertenecer a sí mismo

Russell

Lógicamente (nunca mejor dicho), si no pertenecía a sí mismo (propiedad) no podías estar incluyéndolo en un conjunto al que precisamente le estás impidiendo pertenecer. Ahora vais a ver la gracia de esto.

La paradoja de los Cuadros de Russell

La artífice de esta analogía para entender gráficamente la paradoja fue M. Carmen Márquez García, y dice algo tal que así:

En un bonito museo de arte de Russellandia, al director se le ocurre tener la exposición en 2 salas bien diferenciadas, con cuadros totalmente diferentes. Para lograr el propósito, ya que son gente muy rigurosa, deciden contratar a un experto en arte y en lógica.

Este experto se llama Russellindo. Con la finalidad de cumplir el propósito que se le encomendó, encuentra una buena forma de clasificar las pinturas en dos categorías que se excluyen mutuamente. Así, quien vaya una sala, se asegurará que no se encontrará nada que pueda haber en la otra. ¡Todo muy lógico!

Las dos categorías son estas:

  • La de todas las pinturas que incluyan una imagen de ellas mismas en la escena del propio lienzo
  • La de todos los cuadros que no incluyan una imagen de ellos mismos. A estos se le llaman, los “cuadros de Russell

La primera incluiría cualquier lienzo donde por ejemplo, representando una habitación, se encontrase un cuadro colgando en la pared que a su vez representase la habitación (por ejemplo una foto de esta). Sería un bucle infinito, como se puede comprobar

La segunda incluiría a la inmensa mayoría de lienzos, por ejemplo una representación de una selva amazónica o la propia Mona Lisa. No hay ningún cuadro en la Mona Lisa donde se vea la Mona Lisa, como se observa.

Ahora que por fin el experto ha conseguido llenar las dos salas con todos los cuadros del mundo, gastando ingentes cantidades de dinero y de tiempo, y decide visitar sala con cuadros Russell (ej. la Mona Lisa).

Así, se le ocurre hacer una cosa (ya que hay muchos más cuadros Russell en el mundo, está especialmente orgulloso de esta sala) y es pedirle a un artista que realice un cuadro de toda la sala que corone la bella “sala Russell”

Fig. 3: Rrepresentación de la sala de exposición
de los lienzos Russell

Terminado, se le titula apropiadamente como “Todas las pinturas de Russell del mundo”. Pero claro, aquí hay un problema, porque cuando el galerista se pone a examinar el lienzo elaborado por el artista, encuentra al lado de la Mona Lisa una representación de “Todas las pinturas de Russell del mundo”.

El artista se escuda en que decidió añadirla porque era realmente más fiable a la realidad, ya que representaba la sala en su completa plenitud, con todas las pinturas Russell, tal cual quedaría una vez terminada su obra.

Aún así, el galerista, muy purista con la lógica, decide que eso no puede ser. Si así fuera, el cuadro “Todas las pinturas Russell del mundo” sería un cuadro que incluiría una imagen de sí mismo, y no sería una pintura Russell, con lo cual no debería estar colgado en esa exposición, sino en la contigua.

El artista, aunque algo desconcertado, hace caso omiso a lo que Russellindo le indica y borra esa parte de la pintura.

Ahora hay un nuevo problema, ¡Todas las pinturas de Russell del mundo no incluye a ese propio cuadro Russell! Esto tiene sentido, porque sino tendría una imagen de sí misma y dejaría de ser Russell.

Pero claro, entonces el título del cuadro no sería representativo, ya que habría un lienzo no incluido en el conjunto, pese a cumplir la propiedad que le aporta su largo y sugerente nombre.

El experto vuelve a mandarle pintar sobre el lienzo al propio lienzo y el artista, algo ya enfadado, lo vuelve a incorporar. Está ya sin duda deseando marcharse de ese museo y de esa ciudad, demasiado testarudos para su creatividad.

Así, volvemos al caso del principio de todo, y podrían seguir así toda la vida artista y experto, ¡O al menos hasta que uno de los dos deje el trabajo!

Conclusiones

El artista y el experto se han dado de narices con la paradoja de Russell. De hecho, él se dio de forma todavía más fuerte, pues los matemáticos del siglo XX terminaron concluyendo que “un conjunto que se contenga a sí mismo realmente no es un conjunto“. A Russell no le gustó mucho

“A raíz de ahí me aparté de la lógica matemática con una especie de náusea”

Russell

Así que ya sabéis, podemos aprender de esto que es recomendable abrir la mente lo suficiente como para no quedar encajonado en sentencias inamovibles y que nos lleven a náuseas como a Russell

Ahora bien, abrirla es una cosa, “pero tampoco abrirla tanto como para que se nos caiga el cabrero al suelo”, como diría Feynman.

Fig. 4: Russell y su paradoja

AUTOR

Manuel Ferreira Lorenzo

Estudiante de Ingeniería en Tecnologías Industriales,

Universidad de Málaga

Bibligrafía

Puntuación
Votos: 2 Promedio: 5
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