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Introducción

Ya hemos visto las relaciones que existen entre las coordenadas que un evento tiene en dos sistemas de referencia inerciales distintos; así como la relación que existe entre ellas. En este artículo veremos como podemos relacionar la velocidad que miden dos observadores de un objeto que se mueve en relación a ellos.

Expresión de la velocidad

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Haces de luz

Lo que estamos buscando es una expresión que me permita saber cuál es la velocidad de un objeto medida en un sistema de referencia inercial cuando yo conozco la velocidad de ese objeto en otro sistema de referencia inercial y conozco el movimiento relativo de ambos sistemas de referencia.

Para ello, como siempre, supondremos dos sistemas de referencia inerciales, con todos sus ejes paralelos y cuyos tiempos se sincronizan en un instante tomado como inicial en que los orígenes de ambos sistemas coinciden. En este caso, se supondrá que el sistema B se mueve con velocidad, u, relativa al sistema A (que supondremos en reposo) según su eje OX.

Dicho esto, expresaremos las ecuaciones de Lorentz en forma diferencial:

\left{\begin{matrix}dt_{B}=\gamma (dt_{A}-\frac{u}{c^{2}} \cdot dx_{A})\\dx_{B}=\gamma (dx_{A}-u\cdot dt_{A})\end{matrix}\right.

Ahora bien, la velocidad de un objeto medida desde B es el cociente entre la distancia diferencial que ese objeto recorre medida desde B, y el tiempo (también medido en B) que tarda en recorrerla. Así pues, se llega a la siguiente expresión:

v_{B}=\frac{dx_{B}}{dt_{B}}=\frac{\gamma (dx_{A}-u\cdot dt_{A})}{\gamma (dt_{A}-\frac{u}{c^{2}} \cdot dx_{A})}=\frac{\frac{dx_{A}}{dt_{A}}-u}{1-\frac{u}{c^{2}}\cdot\frac{dx_{A}}{dt_{A}}}=\frac{v_{A}-u}{1-\frac{u \cdot v_{A}}{c^{2}}}

Esta expresión nos relaciona la velocidad que mide el observador B, v_{B} con la velocidad que mide el observador A, v_{A} de un mismo objeto a través de la velocidad u, de movimiento relativo entre B y A.

Podría haberse hecho el mismo análisis pero con el cambio inverso de coordenadas. ¡¡Te invito a que lo intentes!! Aquí se van a expresar las ecuaciones finales a las que se llega.

v_{B}=\frac{v_{A}-u}{1-\frac{u \cdot v_{A}}{c^{2}}}

y

v_{A}=\frac{v_{B}+u}{1+\frac{u \cdot v_{B}}{c^{2}}}

Puede observarse que el único cambio es el del signo ligado a los productos con u, como ya se vio en las ecuaciones que ligaban las coordenadas.

Consecuencias inmediatas

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Límite a la velocidad

La primera consecuencia que puede observarse es la del límite que se le impone a la velocidad. Supongamos en primer lugar que estamos observando un fotón, que se mueve a la velocidad de la luz, c respecto del observador inercial en reposo A. Los observadores A y B, y el fotón están alineados según el eje OX de ambos sistemas de referencia, y el observador B y el fotón se mueven según dicho eje. Podríamos preguntarnos cual es la velocidad que mide B de dicho fotón. Al moverse B a una velocidad u, en principio inferior a la de la luz (mayor no podría ser, sin embargo, sí que podría ser igual), podríamos razonar (erróneamente) que la velocidad que va a medir B va a ser v_{B}=c-u<c. Sin embargo, yéndonos a las ecuaciones, tomando v_{A}=c, obtenemos:

v_{B}=\frac{v_{A}-u}{1-\frac{u \cdot v_{A}}{c^{2}}}=\frac{c-u}{1-\frac{u \cdot c}{c^{2}}}=c \cdot \frac{c-u}{c-u}=c

Esto es, independientemente de la velocidad a la que se mueva un observador inercial, la velocidad de la luz medida por cualquier observador inercial es constante e igual a c. Es decir, la velocidad de la luz es algo absoluto, independiente del observador (como lo era el tiempo en la teoría clásica).

También puede verse que, aunque u fuese u=c, la velocidad que mediría B sería v_{B}=c, al quedar una indeterminación fácil de resolver {0/0}.

Obtener las ecuaciones clásicas de la velocidad

Nuevamente, y al igual que hemos ido haciendo a lo largo de esta fascinante teoría, si suponemos que la velocidad de la luz tiende a infinito (o que es infinita), es decir, que no hay una velocidad límite, llegamos a las ecuaciones clásicas:

v_{B}=v_{A}-u

y

v_{A}=v_{B}+u

Puede verse, que, al igual que se menciono antes, según estas ecuaciones, con velocidades de objetos próximas a la de la luz, o incluso con velocidades de u próximas a c, dejan de tener validez. Según las ecuaciones clásicas, si un observador B viaja a una velocidad u=c, y mide la velocidad de un móvil, que se mueve con v_{A}=c, mediría v_{B}=0.

Puede parecer que esto tendría más sentido que el hecho de que en verdad midiese v_{B}=c, pero esto se debe a la educación que hemos recibido desde siempre y a que la física de Newton sigue a día de hoy teniendo un mayor alcance que la de Einstein, al ser una física mucho más simple y muy efectiva para muchas cuentas y problemas cotidianos. Sin embargo, y a pesar del asombro que puede causar la teoría de la relatividad especial, la corrección introducida explica notablemente bien fenómenos a velocidades próximas a la de la luz, y tiene una notoria validez en ese campo.

Otras…

La trascendencia de todo lo que se ha desarrollado hasta ahora no termina aquí, hemos de seguir describiendo magnitudes físicas de sobra conocidas en términos relativistas y ver sus consecuencias, te espero en próximos artículos…

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler
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Carlos Carbajosa Fernández
caradrenalyn@gmail.com
Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

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