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Introducción

En este artículo veremos las expresiones de la aceleración, y seguiremos el mismo procedimiento que se siguió en el artículo anterior.

Expresión para la aceleración

En primer lugar, se diferenciará la expresión de la velocidad v_{B} hallada en el anterior artículo, esto es:

dv_{B}=\frac{dv_{A} \cdot [1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}}+\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}}-\frac{u^{2}}{c^{2}}]}{(1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{2}}=\frac{dv_{A} \cdot [1-\frac{u^{2}}{c^{2}}]}{(1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{2}}=\frac{dv_{A}}{\gamma^{2} \cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{2}}

Por otro lado, se tiene:

dt_{B}=\gamma (dt_{A}-\frac{u}{c^{2}} \cdot dx_{A})

Y como la aceleración que mide el observador B de un objeto que se mueve según su eje OX es la variación diferencial que experimenta la velocidad entre el tiempo diferencial que tarda en experimentarla, se tiene:

a_{B}=\frac{dv_{B}}{dt_{B}}=\frac{dv_{A}}{dt_{A}}\cdot \frac{1}{\gamma ^{3}\cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{3}}=\frac{a_{A}}{\gamma ^{3}\cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{3}}

De igual modo que se hizo en el artículo anterior, y a partir de las expresiones de la velocidad expuestas en el artículo anterior; y de las expresiones de las coordenadas expuestas en este artículo, se recomienda tratar de llegar a la expresión inversa. A continuación se recogen las expresiones definitivas:

a_{B}=\frac{a_{A}}{\gamma ^{3}\cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{3}}

y

a_{A}=\frac{a_{B}}{\gamma ^{3}\cdot (1+\frac{u\cdot v_{B}}{c^{2}})^{3}}

Como ha sucedido hasta ahora, el único cambio es el del signo asociado a la velocidad de traslación del sistema B, u. Hemos de tener en cuenta que, al tratarse ahora de aceleraciones, para que estas tengan sentido, la única velocidad constante que va a aparecer es u, ya que al ser sistemas inerciales, la velocidad de trasnlación de B es constante. Sin embargo, si v_{A} o v_{B} fuesen constantes, en consecuencia, a_{A} o a_{B} serían nulas, respectivamente. Sin embargo, el caso de la aceleración es curioso, ya que si una de las dos aceleraciones fuese nula (cualquiera), la otra también lo sería, tal y como se refleja en las ecuaciones.

La teoría de la relatividad. Albert Einstein |
Efectos de distintos movimientos sobre la percepción a velocidades próximas a c

Consecuencias

Si u=c

Si el sistema B se moviese a la velocidad de la luz, gamma sería infinito, y para cualquier v_{A}<c, se tendría que la aceleración que mide B para una aceleración medida desde A a_{A} cualquiera, sería a_{B}=0. Eso quiere decir que, si B viaja a la velocidad de la luz, ve al resto de objetos con velocidad (prácticamente) constante.

Por otro lado, si fuese v_{A}=c, esto es, si el observador en reposo, A, observase a un objeto moviéndose instantáneamente a la velocidad de la luz. Si B también fuese a la velocidad de la luz, esto es, u=c; se tendrían para una aceleración a_{A} finita y no nula:

a_{B}=\frac{a_{A}}{\gamma ^{3}\cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{3}}=\frac{a_{A}\cdot (1-\frac{c^{2}}{c^{2}})^{3/2}}{(1-\frac{c^{2}}{c^{2}})^{3}}=\frac{a_{A}}{(1-\frac{c^{2}}{c^{2}})^{3/2}}\rightarrow \infty

Puede parecer algo paradójico, que si el observador B se mueve a la velocidad de la luz sólo pueda medir dos aceleraciones, o cero o infinito, según si el observador en reposo está midiendo una velocidad distinta o igual a la de la luz del objeto que se está moviendo. Sin embargo, ya se verá en el artículo #10, dedicado a analizar las fuerzas relativistas, que ningún objeto con masa puede viajar a la velocidad de la luz (ya que requeriría una fuerza infinita). Por lo que estos casos se reducirían al movimiento de fotones a la velocidad de la luz, que viajan a velocidad constante, por lo que la aceleración sería nula.

Además, dado que la velocidad de la luz es un límite, si hay un objeto que esté acelerando con aceleración medida desde A a_{A}(t), dicho objeto alcanzará la velocidad v_{A}=c asintóticamente, cuando el tiempo tienda a infinito. Así, para tiempos t_{A} distintos de infinito, la velocidad v_{A} será distinta de c y a_{B}=0. Pero cuanto t_{A} tienda a infinito, la velocidad v_{A} tenderá a c; y la aceleración a_{B} tenderá a infinito.

Aceleración con reposo instantáneo

El estudio puede simplificarse bastante, al menos instantáneamente, si consideramos un instante dado, medido en cualquiera de ambos sistemas de referencia, en el que el objeto en cuestión tenga velocidad nula con respecto a algún sistema de referencia.

Un ejemplo clásico de esta situación es, por ejemplo, en un movimiento armónico simple, cuando el móvil llega a uno de sus dos extremos de movimiento, lo hace con velocidad nula. También en un tiro vertical, hay un instante, cuando alcanza la altura máxima, en que la velocidad es nula.

Matemáticamente, puede verse que, al ser la velocidad una función continua (salvo al analizar percusiones o movimientos impulsivos, siempre es así, y en los otros casos, el no considerarlo así es por simplificaciones que se realizan), no puede pasar de ser positiva a negativa sin pasar por el cero.

Pues bien, en el estudio de dichos casos, se llega a las expresiones siguientes, que reflejan el valor de las aceleraciones cuando la velocidad del objeto es nula en algún sistema de referencia. Estas expresiones sólo son válidas en el instante en cuestión.

Si v_{A}=0, a_{B}=\frac{a_{A}}{\gamma ^{3}}

y

Si v_{B}=0, a_{A}=\frac{a_{B}}{\gamma ^{3}}

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Explicaciones finales sobre la aceleración

Con lo que se ha escrito hasta ahora, se tienen las principales relaciones de coordenadas, velocidad y aceleraciones. Siempre considerando traslaciones según el eje OX, y con el resto de ejes paralelos dos a dos entre ambos sistemas de coordenadas. Además, siempre se ha supuesto que el sistema A está en reposo, y que B se mueve de forma rectilínea con velocidad u, con respecto a él.

Se puede ver que las bases matemáticas necesarias para afrontar esta teoría son de álgebra matricial, y algo de cálculo diferencial. Aunque puede resultar algo laborioso, su simplicidad frente a otras teorías como la de la relatividad general la hacen asequible para más gente. Como ya se mencionó, el análisis puede extenderse a movimientos relativos entre A y B más complejos, como giros, o traslaciones según cualquier eje; incluso a movimiento no inercial (aumentando significativamente la complejidad).

En cualquier caso, lo maravilloso de esta teoría son las consecuencias que derivan de cualquier análisis, ya que con unos simples cálculos y con unas hipótesis más que comprobadas (hasta ahora) experimentalmente(dentro de su campo de actuación), se obtienen resultados muy sorprendentes.

Con este artículo queda expuesta toda la cinemática, y, aunque podrían hallarse sobreaceleraciones y demás, se considera suficiente para tener una idea general lo que se ha expuesto hasta ahora. En posteriores artículos abordaremos los problemas de fuerza, momento lineal y energía.

¡¡Nos vemos!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler

Carlos Carbajosa Fernández
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