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Introducción a los invariantes

En este artículo hallaremos las expresiones de invariantes ante cambio de observador, y veremos qué magnitudes son iguales para todos los observadores. Hasta ahora se ha hecho un análisis basado en hallar relaciones que permitan conocer qué valores mide un observador B del tiempo, posición, velocidad y aceleración; conocidos los valores que mide A, o viceversa.

Sin embargo, en este artículo nos centraremos en ver cuales son aquellas magnitudes que son iguales medidas en B y en A, como es el caso de la velocidad de la luz, c (como ya se vio).

Distancia espacio-temporal y tiempo propio

En un espacio Euclídeo tridimensional (el que siempre hemos usado habitualmente, con tres ejes mutuamente perpendiculares x, y, z y una base ortonormal {i,j,k} ) la distancia es un invariante. Esto es, si cogemos cualquier otro sistema de referencia ortonormal, desplazado respecto del primero, e incluso girado según la dirección que se nos antoge, medirá el mismo valor de distancia entre dos puntos cualesquiera que el primero.

Habitualmente, dicha distancia se nos definía como el módulo del vector que unía ambos puntos, aunque aquellos lectores más avanzados puede que hayan oído hablar también del concepto de norma o norma euclídea. Sin embargo, con el concepto de módulo nos será suficiente. Pues bien, en un espacio-tiempo con cuatro coordenadas, como vimos antes, dos eventos que suceden en un mismo punto espacial pero en diferentes instantes de tiempo tienen una cierta distancia espacio-temporal.

Incluso en el caso de dos sucesos que ocurrían de forma simultánea para A, pero que guardaban una distancia espacial de separación medida en A, podrían NO ocurrir de forma simultánea (es decir, en el mismo instante temporal) en B.

Invariantes: Distancia espacio-temporal

Universo

Se define la distancia espacio-temporal como:

(\Delta S)^{2}=(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}

o bien,

(\Delta S)^{2}=\begin{pmatrix}\Delta x & \Delta y & \Delta z & \Delta t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & -c^{2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Delta x\\\Delta y\\\Delta z\\\Delta t\end{pmatrix}

Esta definición se debe a que, independientemente del observador que mida las distancias y los instantes en que ocurren dos eventos, dicha distancia espacio-temporal es igual para todos. Esto puede comprobarse sustituyendo las ecuaciones de Lorentz en dicha expresión. La expresión de distancia ha de particularizarse para cada observador, de este modo, si es A quien mide la distancia, será \Delta s_{A}, y todos los datos de la expresión llevarán el subíndice A. Del mismo modo ocurre con B.

En la teoría desarrollada hasta el momento se han considerado únicamente traslaciones según x, por lo que \Delta y_{A}=\Delta y_{B} y \Delta z_{A}=\Delta z_{B}, por ello, al ser esas iguales, los términos definitorios de la distancia espacio-temporal pasan a ser los restantes. Por lo tanto, de aquí en adelante trataremos la distancia espacio-temporal como:

(\Delta s_{A})^{2}=(\Delta s_{B})^{2}=(\Delta x)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}

Invariantes: Tiempo propio

Al igual que se ha definido la distancia espacio-temporal, como aquella magnitud con dimensiones de longitud (aunque en la expresión se da el cuadrado de esta) que es igual para todos los observadores según las expresiones de Lorentz, se define el tiempo propio como aquella magnitud con unidades de tiempo que es igual para todos los observadores. En rigor, el tiempo propio se define como la distancia espacio-temporal (\Delta s) dividida entre la velocidad de la luz, c (c = \Delta s/\Delta \tau). Por lo que sería el tiempo que tardaría un rayo de luz en recorrer dicha distancia espacio-temporal. Al ser la distancia \Delta s=\Delta s_{A}=\Delta s_{B} igual para todos los observadores, y siendo la velocidad c, una constantes, el tiempo propio definido como dicha distancia entre la velocidad de la luz, es también el mismo para cualquier observador.

Suponiendo que el móvil y B coinciden

Supongamos que el objeto en cuestión está en el origen del sistema B y que se mueve de forma rectilínea y uniforme (al menos en el instante en cuestión) de igual modo que B y con su velocidad, u de traslación según OX. En este caso, se tiene que la velocidad del objeto medida por A y la velocidad de traslación relativa de B con respecto de A coinciden. Esto es, u=v_{A}(O_{B})=\frac{dx_{A}}{dt_{A}}. Por otro lado,

(\Delta s)^{2}=(\Delta x)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}=-c^{2}(\Delta \tau)^{2}

El signo negativo se debe a que si se analiza todo en B, \Delta x_{B}=0 al estar el objeto siempre en su origen, no cambia de posición respecto de B; y quedaría -c^{2}(\Delta t_{B})^{2}=-c^{2}(\Delta \tau)^{2}, lo cual sólo tiene sentido con el signo negativo, al ser el tiempo propio del objeto en cuestión igual al del observador B, al moverse ambos de forma conjunta.

También podría discutirse el tema del signo negativo asociado al cuadrado de una distancia, lo cual carecería de sentido en un dominio real. Por ello, se adoptará el convenio de que todos los números pertenecen al campo complejo, de tal modo que no haya problemas de este tipo. Con lo dicho, y sin más que resolver la expresión anterior particularizada para el observador A, teniendo en cuenta lo dicho respecto de las velocidades u y v_{A} quedaría el tiempo propio como:

\Delta \tau =\Delta t_{B}=\frac{\Delta t_{A}}{\gamma }

Resumen invariantes

Por ahora, hay cuatro magnitudes que son iguales para cualquier observador, estas son la velocidad de la luz c; la distancia espacio-temporal al cuadrado (\Delta s)^{2}; el tiempo propio \Delta \tau (derivado de la anterior); y, finalmente, la masa de un móvil m.

Este último invariante no se había mencionado con anterioridad, sin embargo resulta vital para el estudio dinámico y energético de la teoría de la relatividad. Según el autor, se considera que la masa depende del observador o no; sin embargo, a lo que aquí llamaremos m (que suele representarse también por m_{0}) lo consideraremos dependiente única y exclusivamente del móvil en cuestión; siendo una magnitud que mide el grado de oposición a un cambio en su cantidad de movimiento (que será definida en el próximo artículo).

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler

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Carlos Carbajosa Fernández
caradrenalyn@gmail.com
Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

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