Tiempo de lectura: 6 minutos

Introducción a la energía

La energía cinética relativista es bien conocida, sin embargo pocos saben su origen. En el anterior artículo se definieron cuatro magnitudes que son iguales para cualquier observador. Operando con ellas llegaremos a nuevas expresiones que nos permitirán llegar a expresiones mundialmente conocidas. ¡¡Vamos allá!!

Cuatrimomento y energía

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Energía térmica

En primer lugar, combinando ciertas magnitudes anteriores, definiremos una nueva magnitud:

m^{2}\frac{(\Delta s)^{2}}{(\Delta \tau )^{2}}=-m^{2}c^{2}=m^{2}\frac{(\Delta x_{A})^{2}-c^{2}(\Delta t_{A})^{2}}{(\Delta t_{A}/\gamma)^{2} }=(m\gamma v_{A})^{2}-c^{2}(m\gamma )^{2}

La primera igualdad se obtiene a partir de la definición de tiempo propio, y la segunda se obtiene de sustituir la expresión de la distancia espacio-temporal particularizada para el observador A (ya que es igual para todos) y de sustituir el valor del tiempo propio en los supuestos de que el objeto que se esté analizando esté situado en el origen del sistema B.

A partir de lo obtenido, puede verse que es constante cada miembro de la igualdad (ya que uno de ellos es -m^{2}c^{2}=cte, que es constante para una masa dada). De los términos obtenidos, se va a identificar uno de ellos con la energía cinética, E; y el otro, con la cantidad de movimiento, p.

\left{\begin{matrix}p=m\gamma v_{A}=m\gamma u\\E=m\gamma c^{2}\end{matrix}\right.

Ya que al estar el objeto situado en el origen de B (suposición hecha para el tiempo propio), la velocidad de B (u) y la del objeto medida desde A (v_{A}) coincidirán.

Con lo dicho, puede reescribirse la ecuación anterior como:

-c^{2}(E/c^{2})^{2}+p^{2}=-m^{2}c^{2}\Rightarrow E=\sqrt[]{m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}=m\gamma c^{2}

Antes de proceder a analizar las consecuencias ha de recordarse que se ha supuesto que el sistema B se mueve unido solidariamente al objeto en cuestión, ambos con velocidad u medida desde el sistema de referencia A, que permanece en reposo. Por ello, el objeto en cuestión tendrá una velocidad nula medida desde B. Nótese que se han empleado unas ecuaciones que ligan los sistemas A y B, para poder fijar B a un móvil y analizar desde el reposo en A su movimiento, al ser este el mismo que el de B, e incluyendo la masa del móvil.

Consecuencias de la energía

1. Energía en reposo

Si resultase ser u=0, esto es, el sistema B permaneciese en reposo, así como el objeto unido solidariamente a él; se obtendría p=0 y E=mc^{2}. La energía cinética (al no contabilizar efectos de posibles potenciales gravitatorios, electrostáticos…) que mide el observador A del móvil sería distinto de cero. Ese valor de energía en reposo sólo depende de la masa de móvil y del valor de la velocidad de la luz, y es independiente de la velocidad del mismo.

2. Desarrollo de la energía y simplificación

En primer lugar, si consideramos v<<c, se puede desarrollar el factor \gamma en serie de Taylor hasta orden uno respecto de v^{2}, obteniendo \gamma \sim 1+ \frac{1}{2c^{2}}+....

Sustituyendo ahora la aproximación a los dos primeros términos de la serie en el momento lineal y en la energía, obtenemos:

\left{\begin{matrix}p=mu+\frac{mu}{2c^{2}} \simeq mu\\E=mc^{2}+\frac{mu^{2}}{2}\end{matrix}\right.

Por lo que, considerando un objeto con masa constante (esto no sería así en el caso de un coche o un avión, debido al consumo de combustible que altera el valor de la masa, pero si el consumo de combustible es escaso, podría ser una aproximación), la variación de energía cinética desde el reposo hasta un estado con velocidad u dado sería:

\Delta E=\int_{u=0}^{u}udp=\int_{u=0}^{u}ud(mu)=\frac{mu^{2}}{2}

Que coincidiría con el valor procedente de utilizar la simplificación del momento lineal e integrarlo, propio de la mecánica clásica. Puede verse que al trabajar con variaciones, el término dominante (mc^{2}) desaparece al ser constante, y el resto de términos se simplifican al ser muy pequeños, quedando únicamente el habitual de 1/2mu^{2}.

3. Energía nuclear

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Central nuclear

Analicemos ahora el caso de lo que ocurre en el interior de una central nuclear. A groso modo, en un depósito se deposita uranio, que es radioactivo; mediante un mecanismo, se controla la reacción en cadena de los átomos de uranio, que van chocando unos contra otros, produciendo mediante reacciones nucleares elementos derivados y mucha energía. No pretendemos entender este proceso, simplemente la forma de obtener energía.

Posteriormente este calor de comunica a agua dentro de un ciclo interno, que a su vez calienta agua de un ciclo externo (en el caso de centrales más seguras que aíslan el agua directamente en contacto con el uranio) y que se evapora y hace girar una turbina unida solidariamente a unos generadores eléctricos. Posteriormente, el el agua se condensa al ponerse en contacto con un ciclo de agua fría mediante un cambiador de calor y vuelta a empezar.

El hecho es, que aunque pueda parecer que todo está en movimiento, analizando el proceso a nivel macroscópico, puede suponerse que el centro de masas de todo el uranio permanece en reposo. Por ello, siendo toda la cantidad de uranio (que no sale de el depósito en el que está metido) nuestro objeto de estudio, u=0.

Por ello, la única energía cinética presente aquí es la de reposo. Lo curioso es que si pesásemos el uranio antes y después de la puesta en marcha, veremos que la masa que tenemos ha sufrido una pequeña disminución, siendo la variación de energía del uranio \Delta E=\Delta m c^{2}<0 al tratarse de una disminución de la masa, su variación es negativa. Es decir, disminuye la energía del uranio y esa energía se emplea en generar electricidad.

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Átomo idealizado

En conclusión, la energía que se obtiene a consecuencia de esa disminución de masa se empleará en generar calor para aumentar la temperatura del agua y seguir así con el ciclo hasta obtener energía eléctrica.

Por desgracia, esa energía tiene otras consecuencias muy negativas…

Conclusiones

En definitiva, por no alargar más este artículo, se han mencionado sólo las consecuencias más inmediatas, y se ha expuesto un desarrollo algo escueto. Te invito a intentar llegar a la misma expresión general de la energía cinética integrando u·dp, con la expresión relativista de la cantidad de movimiento, p. También te invito a escribir cualquier duda en los comentarios así como las consecuencias que seas capaz de encontrar y que no hayamos expuesto aquí.

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler
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Carlos Carbajosa Fernández
caradrenalyn@gmail.com
Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

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