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Introducción

La serie toca a su fin, y en esta ocasión, hablaremos de la fuerza y la cantidad de movimiento en la relatividad especial. Realizaremos un análisis dinámico desde el punto de vista de la relatividad especial.

Fuerza y conservación de la cantidad de movimiento

Al igual que en la mecánica clásica la Segunda Ley de Newton determinaba el movimiento posterior de un móvil conocidas su posición y velocidad iniciales, reformularemos dicha ley para adaptarla a las hipótesis relativistas.

En el anterior artículo introdujimos el concepto relativista de cantidad de movimiento añadiendo el factor de Lorentz, \gamma. Por definción, se le llama fuerza a aquella magnitud que genera un cambio en la cantidad de movimiento. Por lo que la suma de fuerzas que actúan sobre un cuerpo en movimiento serán igual al cambio de la cantidad de movimiento por unidad de tiempo (es decir, la derivada).

Ecuación vectorial de partida completa

Para realizar el análisis, tomaremos el observador en reposo, A, como aquel que está realizando las mediciones, así, se tiene:

(\Sigma \vec{F})_{A}=(d\vec{p_{A}}/dt)_{A}=(d(m\gamma \vec{v_{A}})/dt)_{A}

Luego,

(\Sigma \vec{F})_{A}=m\vec{v_{A}}(d\gamma /dt)_{A}+m\gamma (d\vec{v_{A}}/dt)_{A}+\gamma \vec{v_{A}} (dm/dt)_{A}

El último término de la última igualdad sólo aparecerá en aquellos casos en los que la masa del sistema estudiado cambie con el tiempo, siempre y cuando dicho cambio no sea despreciable. Puede pensarse en posibles cambios de la masa como cualquier vehículo (coche, avión, barco) que funcione quemando algún combustible. Aunque también puede considerarse el caso de una cuerda que está al borde de una mesa (u otra superficie) y comienza a caer, de tal forma que cada vez hay más masa involucrada en la caída. El lector puede encontrar otros posibles ejemplos.

Ecuación vectorial final

Sin embargo, en esta ocasión trataremos movimientos más comunes en los que, o bien no hay variación de masa (movimiento de cualquier objeto modelizado como sólido rígido), o bien ésta es despreciables en el tiempo característico del movimiento. Para estos casos, fijaremos al cuerpo móvil el origen del sistema B. Introduciendo expresiones halladas en anteriores artículos, y recordando que el factor \gamma sólo depende de la velocidad, y que ésta a su vez es función del tiempo, se obtiene:

(\Sigma \vec{F_{A}})_{A}=m\gamma (d\vec{v_{A}}/dt)_{A}+m\vec{v_{A}}(d\gamma /dt)_{A}=\gamma m\vec{a_{A}}+\gamma^{3}m\frac{\vec{v_{A}}\cdot\vec{a_{A}} }{c^{2}}\cdot \vec{v_{A}}

Han de notarse varias cosas. En primer lugar, ésta es la primera ocasión en la que no se le ha exigido al sistema B un movimiento rectilíneo uniforme, ya que su velocidad puede cambiar con el tiempo tanto en módulo como en dirección y sentido. Ademas, el subíndice “A” asociado a los paréntesis de las derivadas representa en qué sistema se está derivando, en este caso, en el sistema de referencia en reposo, A. Por otra parte, los subíndices “A” asociados a las magnitudes, las fuerzas, aceleraciones, velocidades y cantidad de movimiento, representan qué sistema está midiendo esos datos, en este caso, “A”. Finalmente, hemos de ver que se ha prescindido de ponerle subíndice al tiempo, ya que el subíndice de la derivada indica tanto quién es el que mide el tiempo como qué ejes son los que se consideran fijos al derivar.

En este caso, al haber hecho el estudio entre sistemas A y B paralelos, no habría problema ya que la base de vectores de ambos coincide, pero esto no es así en sistemas con rotaciones relativas, por lo que conviene indicarlo.

Ecuación escalar según Ox

Hasta ahora se ha realizado el análisis con velocidades según el eje Ox, por lo que se hará lo propio en esta ocasión. Supondremos que la única componente no nula de la velocidad en todo instante es la v_{A,x}, siendo el resto nulas. De tal modo, que la aceleración será también no nula sólo en a_{A,x}. La suma de fuerzas según Oy y Oz ha de ser nula, si bien pueden existir fuerzas según dichas direcciones, éstas han de anularse entre sí.

Aunque parezca muy restringido suponer un movimiento unidireccional, el eje Ox puede tomarse según la dirección del movimiento. Así, para un lanzamiento vertical, bastaría situar el eje Ox según la vertical y aplicar las ecuaciones. En este caso, la fuerza gravitatoria sería \vec{F_{g}}=-mg\vec{i}, en vez de ir según Oz, como se acostumbra a hacer.

Con los supuestos realizados se llega a:

(\Sigma F_{A,x})_{A}=m\gamma a_{A,x} +m\gamma^{3}\frac{(v_{A,x})^{2}\cdot a_{A,x}}{c^{2}}

Conclusiones de la fuerza

En primer lugar, hemos de ver que hemos hecho uso de la teoría que se había desarrollado hasta ahora, pero suponiendo que el movimiento de B, si bien no podía tener rotaciones (los ejes de A y B siempre permanecen paralelos), podía ser un movimiento genérico según las tres direcciones espaciales, y acelerado. Luego, hemos restringido el movimiento a un movimiento unidireccional, pero aún así, acelerado.

Con esto último, hemos llegado a una expresión más sencilla. Las fuerzas pueden ser de contacto (o de superficie)o de largo alcance (o volumétricas). Para cada tipo de interacción existe un modelo, surgiendo así la fuerza electrostática, la fuerza electromagnética, la fuerza gravitatoria, la fuerza elástica… De este modo, conociendo el modelo empleado, y analizando las fuerzas que intervienen en cada caso, se puede hallar la velocidad v_{A,x} sin más que integrar (al ser a_{A,x}=(dv_{A,x}/dt)_{A}).

Aumento de la oposición al movimiento

Supongamos ahora que intentamos conseguir una velocidad igual a la de la luz, esto es, v_{A,x}=c. Pues bien, esto sería imposibles en caso de que la masa, m, fuese distinta de cero. ¿Por qué? Veamos, en tal caso, el factor de Lorentz tendería a infinito, y si m y a_{A,x} fuesen finitas distintas de cero, la fuerza necesaria para acelerar a una partícula hasta el infinito sería infinita (al igual que la energía, como se desprende de las ecuaciones del anterior artículo).

En otros casos, si la aceleración es nula, por definición, la velocidad permanecería constante, por lo que no se llegaría a c. En caso de que la masa fuese nula (cosa que ocurre con los fotones), sí que sería posible viajar a tal velocidad.

Partiendo del reposo

En el caso de que la velocidad inicial fuese nula, la ecuación anterior se reduce a la Segunda Ley de Newton aplicada a sistemas con masa constante. Además, en problemas estáticos (como es lógico, al ser 0=v<<c), se recuperan las expresiones de la estática.

¿Qué mide otro observador B´?

El análisis se ha hecho suponiendo que el origen de un sistema B en movimiento relativo a A coincidía con el centro de masas del objeto en cuestión. Sin embargo, si ahora nos preguntamos cuál es la medida que haría un sistema B´, deberíamos proceder del siguiente modo:

  1. Planteamos la Ecuación de la cantidad de movimiento relativista, donde las fuerzas serían constantes conocidas o función de la velocidad (en el caso de fuerzas de fricción o rozamientos). La masa, m, sería una constante conocida y nuestra única incógnita sería v_{A,x}(t_{A}), función del tiempo (al ser un movimiento acelerado), que puede integrarse si se conoce la velocidad inicial v_{A,x_{0}}(t_{A}=0). Notemos que la integración se vuelve enormemente más simple en el caso de un movimiento unidireccional, ya que en movimientos con tres componentes de la velocidad, la velocidad que aparece en el factor de Lorentz es el módulo de la velocidad, que no coincide con ninguna de las componentes, a diferencia del caso unidireccional, que sí que coincide.
  2. Una vez conocida v_{A,x}(t_{A}), podemos derivarla respecto del tiempo y obtener a_{A,x}(t_{A})=(dv_{A,x}(t_{A})/dt)_{A}. Por otra parte, conociendo la velocidad, y siendo v_{A,x}(t_{A})=(dx_{A}/dt)_{A}, puede obtenerse la posición x_{A}(t_{A}) sin más que integrar, conociendo la posición inicial, x_{A}(t_{A}=0).
  3. A partir de este punto, conocemos la magnitud que queramos en el instante t_{A} que queramos medida desde A. Esto es, la cantidad de movimiento p_{a}(t_{A}), la energía E_{A}(t_{A}), la fuerza F_{A}(t_{A}); aparte de las ya conocidas posición, velocidad y aceleración.
  4. Para conocer las magnitudes en B, se puede operar de dos formas. En primer lugar, se puede sustituir en las expresiones obtenidas en anteriores artículos, obteniendo así t_{B}(t_{A}), x_{B}(t_{A}), v_{B,x}(t_{A}), a_{B,x}(t_{A}), E_{B}(t_{A}), F_{B}(t_{A}) y p_{B}(t_{A}). Tambien podrían obtenerse la posición y el tiempo, y después obtener el resto de magnitudes derivando la anterior respecto de t_{B}.

Fin

Con este artículo doy por finalizada la serie. Subiré un último artículo a modo de resumen, tratando de recopilar las ecuaciones con muy breves explicaciones. De este modo, todos aquellos que deseéis realizar cálculos o resolver algún problema podréis disponer en un único artículo de todo cuanto necesitéis.

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler

Carlos Carbajosa Fernández
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