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Introducción

Tras haber finalizado la serie, con este artículo busco hacer un resumen de todas las ecuaciones a las que hemos llegado. De este modo, si queréis probar a resolver problemas u os gustaría repasar la teoría de un vistazo podéis hacerlo.

Antes de poner el resumen de las fórmulas recordemos ciertas cosas en cuanto a la nomenclatura empleada:

  1. El observador A siempre está en reposo. El observador B, aunque en su momento se le dio cierta libertad a su movimiento, en las fórmulas que se van a poner a continuación siempre se mueve con velocidad rectilínea constante, u.
  2. Todos los movimientos considerados ocurren con A y B siempre paralelos entre sí, y con B trasladándose con velocidad, u, constante según el eje O_{x} de A (paralelo al de B). Así mismo, el movimiento de cualquier móvil sólo ocurre según el eje O_{x}.
  3. En el origen de tiempos, se sincronizan los relojes de A y B a cero, y justo en ese instante, los orígenes de ambos sistemas coinciden.
  4. Para determinar cada magnitud física, se indicará en el subíndice el sistema de referencia que lo mide; y entre paréntesis, las magnitudes de las que depende. En el caso de derivadas, su subíndice asociado indica el sistema en el que se está derivando. Ello indica qué ejes son los que se consideran fijos y qué tiempos se están empleando en la derivación.

Resumen de las hipótesis

  1. El espacio es homogéneo e isótropo
  2. El tiempo es homogéneo
  3. Todos los observadores inerciales experimentan las mismas leyes de la física
  4. Todo observador inercial mide la misma velocidad para la luz

Resumen: Cinemática

Transformaciones de Lorentz

Conocidas las coordenadas (posición x y tiempo, en este caso) de un objeto que se está moviendo con respecto a A y B en un sistema de referencia cualquiera de ellos dos, permiten saber qué coordenadas se obtendrían en el otro. Además, sustituyendo en las ecuaciones eventos determinados, se llegan a diversas conclusiones y fenómenos como la dilatación del tiempo, la contracción del espacio o las condiciones de simultaneidad de sucesos.

Forma general

\left\{\begin{matrix}t_{B}=\gamma (t_{A}-\frac{u}{c^{2}} x_{A})\\x_{B}=\gamma (x_{A}-ut_{A})\end{matrix}\right. y \left\{\begin{matrix}t_{A}=\gamma (t_{B}+\frac{u}{c^{2}} x_{B})\\x_{A}=\gamma (x_{B}+ut_{B})\end{matrix}\right.

Con:

\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}

Forma de incrementos

\left{\begin{matrix}\Delta t_{B}=\gamma (\Delta t_{A}-\frac{u}{c^{2}}\Delta x_{A})\\\Delta x_{B}=\gamma (\Delta x_{A}-u\Delta t_{A})\end{matrix}\right. y \left{\begin{matrix}\Delta t_{A}=\gamma (\Delta t_{B}+\frac{u}{c^{2}}\Delta x_{B})\\\Delta x_{A}=\gamma (\Delta x_{B}+u\Delta t_{B})\end{matrix}\right.

Forma diferencial

\left\{\begin{matrix}dt_{B}=\gamma (dt_{A}-\frac{u}{c^{2}} dx_{A})\\dx_{B}=\gamma (dx_{A}-udt_{A})\end{matrix}\right. y \left\{\begin{matrix}dt_{A}=\gamma (dt_{B}+\frac{u}{c^{2}} dx_{B})\\dx_{A}=\gamma (dx_{B}+udt_{B})\end{matrix}\right.

Relaciones de velocidades

Conocida la velocidad que uno de ambos sistemas mide de un objeto en un instante determinado, y la velocidad u de traslación constante de B, se obtiene la velocidad que mide el otro sistema. Aquí hay que tener cuidado ya que la velocidad en A y en B que se relacionan con la ecuación sólo valen para el instante en cuestión, ya que no se le ha exigido al objeto que se mueve que lo haga a velocidad constante.

\left\{\begin{matrix}v_{B}=\frac{v_{A}-u}{1-\frac{u \cdot v_{A}}{c^{2}}}\\v_{A}=\frac{v_{B}+u}{1+\frac{u \cdot v_{B}}{c^{2}}}\end{matrix}\right.

Relación de aceleraciones

En este caso, conociendo la velocidad que uno de ambos sistemas de referencia miden de un objeto que se mueve, y la aceleración que ese mismo sistema mide de este mismo objeto, en un instante determinado, se obtiene la aceleración que mide el otro sistema de ese mismo objeto en ese mismo instante.

\left\{\begin{matrix}a_{B}=\frac{a_{A}}{\gamma ^{3}\cdot (1-\frac{u\cdot v_{A}}{c^{2}})^{3}}\\a_{A}=\frac{a_{B}}{\gamma ^{3}\cdot (1+\frac{u\cdot v_{B}}{c^{2}})^{3}}\end{matrix}\right.

Nota para aceleración y velocidad

Hemos de ver que hemos hablado de un mismo instante, cuando habíamos dejado bien claro en los artículos previos a este resumen que el tiempo que miden A y B no son el mismo. Pues bien, lo que ocurre aquí es que si en un determinado instante de uno de ellos (A o B, cualquiera), medimos la velocidad y la aceleración; para obtener la velocidad y la aceleración en el otro se recurre a las fórmulas.

Sin embargo, conocido el instante en el que se toman las medidas en uno de ellos, para saber en qué instante las medidas que se obtienen mediante las fórmulas coinciden con las mediciones en el otro sistema hemos de recurrir a las Transformaciones de Lorentz. Así, conocida la posición de la partícula y el instante en el que se hace la medición en un sistema, se obtiene el instante en el que se obtendrán las mediciones procedentes de las fórmulas en el otro.

Resumen: Invariantes

  1. Velocidad de la luz=c=IGUAL PARA CUALQUIER OBSERVADOR
  2. Masa de un móvil en un instante=m=IGUAL PARA CUALQUIER OBSERVADOR
  3. Distancia espacio-temporal al cuadrado (unidireccional)=(\Delta S)^{2}=(\Delta x)^{2}-c^{2}(\Delta t)^{2}=IGUAL PARA CUALQUIER OBSERVADOR (de los descritos)
  4. Tiempo propio=\Delta \tau=\Delta s/c=IGUAL PARA CUALQUIER OBSERVADOR

Resumen: Energética

Cantidad de movimiento

Para hallar la cantidad de movimiento en un sistema determinado, hemos de conocer, aparte de la masa del objeto que se mueve, su velocidad relativa al sistema de referencia en ese instante determinado.

\left\{\begin{matrix}p_{A}=\frac{m\cdot v_{A}}{\sqrt{1-\frac{(v_{A})^{2}}{c^{2}}}}\\p_{B}=\frac{m\cdot v_{B}}{\sqrt{1-\frac{(v_{B})^{2}}{c^{2}}}}\end{matrix}\right.

Para obtener estas expresiones se ha tenido en cuenta que en las explicaciones se tomó un sistema B en movimiento rectilíneo con respecto a A que en el instante en cuestión tenía la misma velocidad que el objeto que se movía, y que, además, éste estaba situado en el origen de B. Para las expresiones en B basta con considerar un sistema C con movimiento rectilíneo con respecto a B y proceder del mismo modo (se supone que B está quieto).

Energía cinética

La energía cinética de un cuerpo coincide con la llamada energía mecánica siempre y cuando no se incluyan energías potenciales dentro de la energía mecánica y se contabilice dicha energía potencial como el trabajo realizado por las fuerzas externas. Para obtener el valor de la energía cinética en un un instante determinado medida por un sistema es necesario conocer la velocidad relativa entre el móvil y el sistema en cuestión.

\left\{\begin{matrix}E_{A}=\sqrt[]{m^{2}c^{4}+(p_{A})^{2}c^{2}}=\frac{m\cdot c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(v_{A})^{2}}{c^{2}}}}\\E_{B}=\sqrt[]{m^{2}c^{4}+(p_{B})^{2}c^{2}}=\frac{m\cdot c^{2}}{\sqrt{1-\frac{(v_{B})^{2}}{c^{2}}}}\end{matrix}\right.

Resumen: Dinámica

Fuerza

En este caso, al igual que antes, y a diferencia del artículo correspondiente, con “a” nos referiremos a la aceleración según el eje x, al ser todos los movimientos recogidos en este resumen sólo según dicho eje. Para conocer la fuerza resultante hemos de conocer las velocidades y aceleraciones. O viceversa, conocida la fuerza resultante (mediante modelos y análisis de fuerzas), se pueden obtener los parámetros cinemáticos con unas condiciones dadas. Luego, conocidos estos, pueden obtenerse los energéticos.

\left\{\begin{matrix}\Sigma F_{A}=\frac{m a_{A}}{\sqrt{1-\frac{(v_{A})^{2}}{c^{2}}}} +m\frac{(v_{A})^{2}\cdot a_{A}}{c^{2}\sqrt{(1-\frac{(v_{A})^{2}}{c^{2}})^{3}}}\\\Sigma F_{B}=\frac{m a_{B}}{\sqrt{1-\frac{(v_{B})^{2}}{c^{2}}}} +m\frac{(v_{B})^{2}\cdot a_{B}}{c^{2}\sqrt{(1-\frac{(v_{B})^{2}}{c^{2}})^{3}}}\end{matrix}\right.

Conclusiones al resumen

En primer lugar, mencionar que en este resumen no se han incluido las conclusiones ni las consecuencias que se desprenden de las ecuaciones que se han recogido. Tampoco se incluye el procedimiento llevado a cabo para obtenerlas ni los razonamientos que hay detrás. Por ello, si aún no has leído los artículos de la serie, te los recomiendo.

Por otra parte, la teoría que se ha desarrollado aquí no recoge la totalidad de posibilidades (giros, traslaciones según trayectorias más genéricas que una recta, movimientos de sistemas acelerados…), pero pretende dar una visión del análisis y del modo de operar. También pretende sentar unas bases para aquellos que decidan profundizar más en el tema.

Por último, deciros que trataré se juntar todos los artículos en un único documento pdf, de modo que quede más organizado y junto todo. También me gustaría meter algo de contenido adicional, tanto teórico (extender el análisis un poco e incorporar algunas ecuaciones adicionales de movimientos más complejos) como práctico (meter algunos problemas resueltos para que tengáis un ejemplo de aplicación).

Despedida

Dicho esto, no me queda más que daros las gracias a todos los que me habéis seguido hasta aquí, y a los que no, animaros a comenzar esta serie desde el inicio. También os invito a compartir cualquier tipo de retroalimentación en los comentarios, sobretodo sobre la facilidad o dificultad de seguimiento de los artículos, o si tenéis cualquier duda, sugerencia, propuesta…

¡¡¡Nos vemos pronto en nuevos artículos o nuevas series!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Sobre la teoría de la relatividad especial y general, de Albert Einstein
  • Física para la ciencia y la tecnología (Vol. III), de G. Mosca y P. A. Tipler

Carlos Carbajosa Fernández
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Puntuación
Votos: 4 Promedio: 5
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