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En el día de hoy traemos uno de los conceptos más sorprendentes a la hora de entender y conocer cómo funciona nuestro universo. Si bien todo parece extenderse a lo largo de este sin un aparente orden, la física y las matemáticas nos dicen que hay mucho más allá de lo que nuestra percepción se atreve apenas a imaginar. Las simetrías que describen nuestro sistemas nos aportarán información sobre este incluso antes de que conozcamos la existencia de alguno de sus componentes. La simetrías son usadas en relatividad especial, astrofísica o incluso en la física del día a día. Te animo a que te sumerjas en esta gran aventura que constituye conocer cuál es el engranaje que mueve al cosmos.

Ordo ab chao. Simetría en frente del espejo.

Primer día de carrera, primera simetría aprendida.

El primer día de facultad nuestro profesor de primero de física nos introdujo a la primera clase de la carrera de la siguiente forma: Ustedes al principio verán la física como un amasijo de ecuaciones inconexas y carentes de sentido, no verán correlación entre ninguna de ellas, y pensarán que todo lo que estudian pertenece a partes distintas del conocimiento. Pero conforme vayan aumentando en sus años de estudio irán viendo que cada vez todo se irá reduciendo a un conjunto de leyes fundamentales y que toda la estructura del universo se resume en una simple palabra: simetrías”.

El espejo como profesor de física.

Como bien aparece en la novela de Dan Brown “El símbolo perdido”, la expresión ordo ab chao, el orden del caos, es lo que nos sugiere el conocimiento de las simetrías dentro de nuestro universo. Son capaces de poner orden dentro del caos que aparentemente reina en él. Pero ¿qué es una simetría? Supongo que el lector se habrá hecho esta pregunta hace unas cuantas líneas pero sin duda no se habrá dado cuenta de que la respuesta la ve todos los días por las mañanas cuando se mira al espejo. Nuestro reflejo en el espejo es un tipo de simetría, en este caso se llama de reflexión y, aunque no es exactamente igual al concepto que queremos dar, nos sirve para entenderlo en primera aproximación.

Primera idea del concepto de simetría.

Para entender completamente el concepto con esta idea del espejo, deberíamos imaginar en qué pasaría si, por ejemplo, corto una estrella de mar por la mitad y la pego al espejo por el lado cortado, obviamente al mirarla de frente me parecería que la estrella de mar está completa y que no ha sufrido de ningún tipo de corte. Acabamos de encontrar algo fascinante, las estrellas de mar contienen una simetría de reflexión respecto del eje que las corta por la mitad. Traducido a un lenguaje matemático, la estrella de mar se queda intacta al someterla a una operación de reflexión. Estas son el tipo de propiedades donde reside el potencial de las simetrías, ya que nos ayudarán a entender los sistemas y extraer información de ellos pese a no trabajar directamente con estos.

Teoría de grupos. Del aspecto más simple a la física más simétrica.

Ejemplo concreto: el triágulo.

La teoría matemática que existe debajo de todo este vocabulario de simetrías es la teoría de grupos. Esta teoría trabaja con las propiedades de los sistemas y define operaciones entre las distintas transformaciones que pueden sufrir. Veamos un ejemplo sencillo pero a la vez muy potente. Pensemos en un triángulo equilátero, ¿cuántas transformaciones pensaría el lector que sería capaz de hacerle al triángulo, sin repetirlas, que lo dejaran invariante? Veamos un ejemplo de un tipo de transformación que cumpliría estas condiciones. Pensemos en una rotación de 120º. Si cerrase el lector los ojos y yo girara esta cantidad el triángulo y después los abriera otra vez, ¿notaría usted alguna diferencia sustancial de si, directamente, yo no le hubiera hecho nada? Efectivamente, lo vería exactamente igual que al principio, como si nada hubiera cambiado.

Geometría, Triángulos, Curvo, Forma
Figura (1).
El giro de 120º de un triángulo equilátero lo deja invariante, como si no hubiésemos hecho nada. También ocurre con giros de múltiplos de 120º como 240º y 360º (esta es la propia identidad ya que girar 360º es como girar 0º, es decir, no girar nada). Todas estas operaciones describen simetrías de este objeto. Imagen sacada de: https://pixabay.com/es/vectors/geometr%C3%ADa-tri%C3%A1ngulos-curvo-forma-153158/

No es lo mismo hacer que parecer que lo haces.

Es importante diferenciar antes de seguir entre “como si no hubiésemos hecho nada” y “no hacer nada”, en la Figura (1) vemos que si a cada vértice del triángulo le asignáramos un número, al hacer cambios sí veríamos que los vértices etiquetados han cambiado, pero la estructura global del triángulo no, por eso no es lo mismo hablar de transformaciones que dejan invariante al triángulo, que parecen como si no le hubiésemos hecho nada, que aplicar por ejemplo la transformación identidad, que es literalmente no hacer ningún cambio. En términos de números, sería como multiplicar un número por 1.

Primer ejemplo completo de grupo.

Se puede ver en un ejercicio sencillo y curioso que existen 6 tipos de transformaciones que dejan al triángulo invariante,: tres giros de 120º ,240º y 360º (0º) y tres reflexiones, respecto de cada eje que pasa por cada vértice. Todas estas operaciones forman un grupo discreto, el cual podemos llamar T_{3}. Todas las operaciones entre los elementos del grupo se pueden obtener explícitamente y así llegaremos a lo que se llama tabla de multiplicación del grupo. Por ejemplo, podemos ver que girar dos veces el triángulo es equivalente a hacer una reflexión sobre uno de los ejes.

Simetrías de SU(3), del juego matemático a la física de los quarks.

De las matemáticas a la física.

Se preguntará el lector de qué tiene que ver todo esto de los triángulos, de las reflexiones y los giros con la física o con el mundo que nos rodea, paciencia, ahora es cuando se pone interesante. La clave para trabajar con grupos es que estos admiten representaciones en los espacios vectoriales (no se asuste si no se sabe lo que es un espacio vectorial, es una construcción matemática para representar, por ejemplo, nuestro mundo real de tres dimensiones), y estas representaciones vienen dadas por matrices, el ejemplo más sencillo sería la de la transformación identidad, ¿cómo vendría representada en nuestro espacio euclídeo R^3? Pues, como seguramente le sonará, de la forma:

(1)   \begin{equation*}\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\end{equation*}

Ordenar nuestro espacio en simetrías.

No entraremos en cómo se averiguan las formas que tendrán los elementos del grupo en el espacio, lo importante es que esta es la forma de trabajar con ellos en física. Y ahora viene lo más interesante, siguiendo la estructura de estos grupos, podemos encontrar vectores del espacio donde se representan que se mantengan invariantes frente a la acción de estos elementos del grupo, sí, igual que en el triángulo. De esta forma podemos separar todo nuestro espacio físico en un conjunto de subespacios formados por vectores que son invariantes a algunas de las acciones del grupo. ¡Perfecto! Acabamos de dividir nuestro espacio en un conjunto de partes invariantes (simetrías) descritas por la acción de un grupo. Esta es la idea fundamental que reside en todo esto, así es como se desglosa el mecanismo oculto del cosmos.

El mejor regalo del universo.

Por tanto, ¿para qué ha servido todo esto? ¿Es realmente importante? La respuesta es . Durante la segunda mitad del siglo pasado, el científico Gell-Mann sugirió que la simetría que estaba debajo de los hadrones (así se llaman a las partículas como el protón o neutrón) era la que subyace del grupo SU(3). Gell-Mann predijo la existencia de partículas que todavía no se habían encontrado, como la \Omega^{-}. Incluso fue capaz de decirle a los físicos experimentales cómo debían de buscarla y bajo que reacción se produciría. ¿El resultado? Unos años más tarde se encontraba esta partícula y se afirmaba la potencia de la simetría SU(3) como la simetría subyacente debajo de las partículas que forman los hadrones: los quarks. He aquí la maravillosa estampa que nos regala el universo.

Bibliografía

  • A. O. Barut y R. Ra¸czka, Theory of group representations and applications, World Scientific. Publishing, 1986.
  • S. Coleman, Aspects of Symmetry, Cambridge University Press, 1985.
  • W-K. Tung, Group Theory in Physics, World Scientific, 1985.

Miguel Jimenez Ortega

Estudiante de último curso de Física en la Universidad de Granada (UGR). Apasionado de la física y las matemáticas, trabajando por una divulgación científica clara e interesante.

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