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Introducción

Hasta ahora hemos visto cuáles eran los problemas que podían surgir de las ecuaciones, así como ciertos datos biográficos acerca de algunos de los físicos más influyentes en la mecánica de fluidos (en el primer artículo de la serie). También hemos visto qué hipótesis íbamos a tomar y cuáles eran los objetivos que tiene la mecánica de fluidos (en el anterior artículo).

En este artículo, trataremos de describir ligeramente las magnitudes cinemáticas más importantes en el estudio de los fluidos, así como ciertos parámetros cinemáticos de relevancia. También esbozaremos todo el artilugio matemático que ha de conocerse de cara a seguir con éxito las explicaciones para obtener las ecuaciones de Navier-Stokes.

Cinemática en mecánica de fluidos

La cinemática es la rama de la mecánica que estudia el movimiento sin atender a sus causas. Por ello, introduciremos ciertas definiciones y conceptos. Sin embargo, se evitará introducir las ecuaciones matemáticas que permitan obtener las expresiones de forma exacta y centraremos la atención en el concepto en sí mismo, explicado de forma más didáctica.

El Agua, Rápidos, Arroyo, Cascada, Río

Concepción euleriana vs lagrangiana

En el estudio de los fluidos, existen dos caminos igualmente válidos para poder realizar su estudio. Para comprender esto, pondremos el ejemplo de un río. Para estudiar el río, y describir su comportamiento, uno puede fijar la atención en un cachito de río (un volumen de control), y ver que hay agua que entra en nuestro campo de visión y agua que sale de él. Entonces, realizando así el estudio, podríamos decir conforme vaya transcurriendo el tiempo como varían la temperatura, la presión, la densidad, la velocidad, etc; en el trozo de río que se está observando. Esta concepción de los campos fluidos se corresponde con la concepción euleriana.

Por otro lado, podría fijarse la atención en una partícula fluida (un conjunto de moléculas de fluido con un volumen minúsculo, que se toma como elemento de referencia). En este caso, correríamos río abajo persiguiendo a esta partícula y describiendo como varían sus propiedades con el tiempo. Esta visión del campo fluido corresponde al enfoque lagrangiano del mismo.

En resumen, puede concebirse el fluido como un campo de magnitudes, es decir, una región del espacio donde a cada punto se le asignan unos valores de magnitudes (presión, temperatura, densidad, etc) que dependen y varían con el tiempo (enfoque euleriano). También puede concebirse el fluido como un campo de partículas, es decir, un conjunto de partículas, que se mueven y cuyas magnitudes asociadas varían con el tiempo (enfoque lagrangiano).

Diferencias entre ambas concepciones

Puede observarse que una de las diferencias más marcadas es el sujeto al que se le atribuyen las magnitudes físicas. En el enfoque euleriano, las magnitudes físicas se expresan en función de las coordenadas espaciales y del tiempo, de tal modo que para una posición y tiempo determinados, se sabe que valores toman las magnitudes en ese punto e instante. La partícula fluida que esté situada en esa posición en cuestión en ese instante determinado, tendrá esos valores de las magnitudes físicas. Pero para el instante inmediatamente posterior, la partícula fluida tendrá, en general, otros valores de esas magnitudes distintos de los que tenga el punto inicialmente considerado en ese instante posterior. Esto se debe a que, en general, la partícula fluida se habrá desplazado (el río fluye y esa partícula se encontrará agua abajo del punto que se consideraba). Con el otro enfoque, se conocerían las magnitudes de la partícula, independientemente del punto del espacio en el que esté situada.

En la mecánica de fluidos, el enfoque euleriano se impone al enfoque lagrangiano, por lo que se realizará todo el análisis atendiendo al punto de vista euleriano. Para ello, se tomarán lo que se denomina volúmenes de control, es decir, se tomará una región del campo fluido donde se realizará el estudio, y se describirá el comportamiento del fluido que esté contenido en dicho volumen. Sin embargo, se verá que dicho volumen de control puede ser escogido con gran libertad, y puede dilatarse, contraerse o, en general, cambiar de forma con el tiempo (también puede ser estático).

Conceptos cinemáticos en mecánica de fluidos

Trayectorias y sendas

Los primeros conceptos que se introducirán serán los de trayectoria y senda de una partícula. La trayectoria de una partícula es una ecuación matemática que permite conocer la posición de la misma en función del tiempo y de su posición inicial. Dicha ecuación matemática puede obtenerse integrando el campo de velocidades del fluido (es decir, la expresión matemática que da el valor de la velocidad del fluido en cada posición del espacio en función del tiempo). El concepto de senda es muy similar, ya que la senda es la curva que sigue la partícula fluida en su movimiento (puede obtenerse su expresión matemática a partir de las de las trayectorias, usando el tiempo como parámetro).

La diferencia entre ambos conceptos radica en ciertos matices. La trayectoria de una partícula da su posición en función del tiempo y de la posición inicial. En la senda sin embargo, el tiempo ha de interpretarse como un parámetro de la curva que describe la partícula en su movimiento. Si bien ambas ecuaciones matemáticas son la misma, en la ecuación paramétrica de la senda puede eliminarse el tiempo mediante sustitución, y obtener unas ecuaciones independientes de él, cosa que carecería de sentido en las ecuaciones de la trayectoria.

Líneas, superficies y volúmenes fluidos

Cuando las partículas están dispuestas formando una curva en el instante inicial, siguen formando una curva a lo largo del movimiento. Lo mismo sucede cuando inicialmente forman una superficie genérica. Además, cuando forman una superficie cerrada, no sólo las partículas que forman la superficie permanecen formando una superficie cerrada a lo largo del movimiento, sino que además, todas las partículas contenidas en su interior permanecen en su interior. Surgen así los conceptos de línea fluida, superficie fluida y volumen fluido, como aquellas curva, superficie y volumen, respectivamente, que siempre están formados por las mismas partículas y cuya forma cambiará como consecuencia del movimiento del fluido.

Salpicaduras, Bienvenida, Aqua, El Agua

Líneas, superficies y tubos de corriente. Puntos de remanso

Las líneas de corriente son las líneas que son tangentes al campo de velocidades del fluido en cada instante. Tienen una gran importancia gráfica, ya que indican el modo en el que se mueve el fluido. Una superficie formada por líneas de corriente es una superficie de corriente. Si dicha superficie es cerrada, se denomina tubo de corriente. Por su parte, los puntos de remanso son aquellos puntos en los que la velocidad es nula.

Derivada sustancial

Como se dijo al inicio, en la mecánica de fluidos se opta por el enfoque euleriano de los fluidos. Por ello, planteemos cómo se hallaría la variación que sufre una magnitud con el tiempo. Pensemos en una función, \Phi(\vec{x},t), que puede representar cualquier magnitud física (temperatura, velocidad, presión…). Pues bien, pensemos en la partícula fluida que ocupa la posición \vec{x}, en el instante t considerado. En un instante inmediatamente posterior (esto es t+\Delta t), la partícula ocupará la posición \vec{x} +\Delta \vec{x}. Por ello, la magnitud física, \Phi(\vec{x},t), asociada a dicha partícula, en dicho instante posterior valdrá \Phi(\vec{x} +\Delta \vec{x},t+\Delta t). Por ello, se define la derivada sustancial de la magnitud \Phi como:

\frac{D\Phi }{Dt}=\lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Phi (\vec{x} +\Delta \vec{x},t+\Delta)-\Phi (\vec{x},t)}{\Delta t}=\frac{\partial \Phi }{\partial t}+\vec{v}\cdot \triangledown \Phi

El primer sumando representa la variación de dicha magnitud por unidad de tiempo, mientras que el segundo (término convectivo), representa el cambio de dicha magnitud debido al movimiento del fluido. Esto es, una magnitud puede cambiar de valor en una posición tanto porque haya un cambio temporal, como porque las nuevas partículas que ocupen dicha posición tengan valores distintos de dicha magnitud.

Por ejemplo, si la magnitud \Phi fuese la temperatura, T, la temperatura puede variar tanto porque se esté aportando calor en una posición, como porque las partículas que vengan tengan temperaturas distintas a la que hay en esa posición.

Aceleración

Finalmente, aplicando el concepto de derivada convectiva tomando como \Phi la velocidad, se obtiene el campo de aceleraciones del fluido.

Resumen

Podrían introducirse otros conceptos importantes, como el de vorticidad, traza, o superficie normal de avance. Sin embargo, se pretende dar una visión general de la mecánica de fluidos y abordar los temas más importantes, haciendo especial hincapié en el origen y las consecuencias de las ecuaciones de Navier-Stokes, que comenzarán a esbozarse en el próximo artículo.

Hasta este punto, se ha aclarado el enfoque que se va a seguir (euleriano), y se han introducido ciertos conceptos, con escaso énfasis en la forma matemática que tienen las ecuaciones que permiten describirlos. No obstante, a partir de este punto, serán necesarias unas bases matemáticas básicas para abordar el resto de la serie.

En un artículo posterior, y previo a la publicación del siguiente de la serie, se explicarán los conceptos matemáticos mínimos para poder comprender el resto de la serie, si bien sería necesario un mayor conocimiento en los artilugios matemáticos del cálculo diferencial para poder abordar el resto de la teoría que no se expondrá en esta serie. Para acceder a dicho artículo, se dispondrá de un enlace en el próximo artículo de la serie, de modo que aquellos que no lo hubiesen leído antes, puedan leerlo.

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández
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