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diciembre 19, 2020

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Introducción a los operadores diferenciales

Este cuarto capítulo de la serie de Mecánica de Fluidos va a servir de enlace entre los anteriores capítulos y el comienzo, ahora sí, de trabajar con las ecuaciones de Navier-Stokes. Daremos forma a términos ya mencionados anteriormente, explicando su significado y expresión matemática, así como una pequeña introducción al álgebra de vectores y tensores, introduciendo la utilidad de los operadores diferenciales. Finalizaremos este artículo explicando el Teorema de la Divergencia de Gauss y el Teorema de Stokes, dos grandes aportaciones matemáticas imprescindibles dentro de la temática de este artículo. Sin más, continuamos con el maravilloso mundo de la mecánica de fluidos.

1. DESARROLLO HISTÓRICO DEL ÁLGEBRA

Esta palabra procede de un libro escrito por el matemático y astrónomo Mohammed ibn-Musa al-Khwarizmi. Fue en el año 825, y en su trabajo muestra la primera fórmula general para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado.

El álgebra comienza cuando los matemáticos empiezan a interesarse por las operaciones que se pueden hacer con cualquier cifra, más que por los mismos números. Los griegos en el 300 a.C. desarrollaron el álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.

La notación simbólica asociada a Viète (1540-1603) marca el inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante al desarrollo de dicha notación. Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los “cálculos con cantidades de distintas clases”.

Hasta finales del siglo XVIII y primera mitad del XIX, el álgebra era la ciencia de las ecuaciones y su problema fundamental radicaba en la teoría de resolución de ecuaciones algebraicas. En la segunda mitad del XVIII y primera mitad del XIX, el álgebra era la ciencia de las ecuaciones y su problema fundamental radicaba en la teoría de resolución de ecuaciones algebraicas.

En la segunda mitad del XIX el álgebra presentó un notable impulso debido a grandes matemáticos como Galois (1801-18032). Todo esto favoreció el nacimiento del álgebra abstracta contemporánea o álgebra moderna. En este periodo se prescinde de los números, y los objetos que se usan pueden ser cualesquiera (matrices, vectores, etc.) sobre los cuales se definen ciertas operaciones que verifican unas determinadas propiedades, construyéndose el álgebra a partir de axiomas previamente definidos.

2. ESCALARES, VECTORES Y TENSORES

En el estudio de los fenómenos de transporte, no es raro encontrarse con propiedades físicas, como la densidad o la temperatura, que con conocer su magnitud es suficiente para entenderlas. A este tipo de cantidades que sólo requieren la magnitud para ser descritas se les conoce como escalares. Un escalar tiene la propiedad de que su valor y forma de expresarse es la misma sin importar el sistema coordenado que se use. De hecho, lo único que hace que cambie el valor de un escalar (además de su posición en el espacio y el tiempo) son las unidades que se usen.

Existen otro tipo de propiedades físicas, como la fuerza o la velocidad, que para entender su significado es necesario conocer no solo su magnitud, sino su dirección y sentido. A este tipo de propiedades se les conoce como vectores. Para describir la dirección de un vector es necesario contar con un sistema coordenado. De esta forma, la dirección de un vector puede cambiar de un sistema coordenado a otro, justo como su magnitud puede ser diferente entre un sistema de unidades y otro. Gráficamente, un vector se representa como una flecha cuya línea que forma indica la dirección, la punta indica su sentido y el largo de la flecha está asociado con su magnitud (Simmonds, 1994). Como puede notarse, un escalar sólo requiere de una cantidad para estar definido, pero un vector requiere de tres cantidades.

Existen propiedades que, por ejemplo, no sólo requieren conocer su magnitud y dirección, sino además la superficie en donde se aplican para entenderlas. En este tipo de casos se requieren nueve cantidades para describir las propiedades y se conocen como tensores de segundo orden. De manera general, un escalar es un tensor de orden cero, mientras que un vector es un tensor de primer orden. Existen tensores de orden superior a dos, aunque es más raro encontrarlos en el área que cubre esta serie de artículos.

Forma matemática

En forma matemática, un vector puede expresarse en términos de sus componentes y los vectores unitarios como sigue, a la que se llama notación indicial, y considerando tres dimensiones:

$\vec{v}=v_{1}\vec{e_{1}}+v_{2}\vec{e_{2}}+v_{3}\vec{e_{3}}=\sum_{i=1}^{i=3}v_{i}\vec{e_{i}}$

También podemos expresar dicho vector en forma matricial de la siguiente forma:

$\vec{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}$

Por otra parte, un tensor de segundo orden, además de en forma indicial, puede expresarse igualmente de forma matricial, más útil:

$\bigl(\begin{smallmatrix}A_{11} & A_{12} & A_{13}\\A_{21} & A_{22} & A_{23}\\A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{smallmatrix}\bigr)$

Es importante aclarar en este punto que no todas las matrices representan vectores o tensores. En general, una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos. El hecho de que los vectores y tensores se representen en forma matricial es debido a las propiedades de éstas, que facilitan los distintos cálculos a realizar.

3. OPERADORES DIFERENCIALES

3.1. Operador nabla

Las operaciones hechas con vectores y tensores son, como hemos ido desglosando durante el artículo, de tipo algebraico. En este punto, hay un aspecto importante a incluir, y es que las componentes de un vector o de un tensor pueden ser funciones de la posición y del tiempo. Por lo tanto, podremos aplicar operaciones diferenciales, de derivación, a dichos vectores y tensores. Las operaciones de derivación temporal aplicadas a vectores y tensores no distan mucho de las usadas comúnmente para escalares.

Nos centraremos de momento en las operaciones de derivación espacial. Para ello, es conveniente comenzar por definir el operador vectorial nabla, $\triangledown$ , el cual se define como

$\triangledown =\sum _{i=1}^{3} \frac{\partial }{\partial x{i}}\vec{e_{i}}$

Donde puede notarse que este operador es un vector cuyas componentes son derivadas parciales espaciales respecto a cada dirección.

Cuando este operador se aplica a un escalar, $\alpha$ , el resultado es

$\triangledown \alpha =\sum _{i=1}^{3}\frac{\partial \alpha }{\partial x{i}}\vec{e_{i}}$

y se conoce como gradiente de un escalar.

Por su parte, el gradiente de un vector da como resultado un tensor de segundo orden, como se muestra a continuación:

$\triangledown \vec{v} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\frac{\partial v_{i} }{\partial x_{j}}\vec{e_{i}} \otimes \vec{e_{j}}$

Interpretación geométrica

Para interpretar geométricamente el operador gradiente es conveniente recordar primero que un vector se representa como una flecha cuyo largo corresponde a su magnitud y la flecha apunta en el sentido del vector. De esta forma, el vector de la velocidad de un fluido representa con su orientación la dirección del flujo en un punto dado y su largo representa la magnitud de la velocidad.

Como sabemos, la velocidad tiene tres componentes y la dirección nos indica cuál de ellas es predominante. Aplicando estas ideas al operador gradiente de un escalar, $\alpha$ , resulta entonces que la dirección de este vector corresponde a la dirección en la cual $\alpha$ experimenta el máximo cambio respecto a la posición en un punto dado. De la misma forma, la magnitud del gradiente de una función escalar representa la máxima razón de cambio de $\alpha$ con la posición en un punto. Esta interpretación puede extenderse directamente a vectores y tensores.

3.2. Operador divergencia

El operador divergencia es el producto escalar del operador nabla aplicado a un vector o a un tensor. Es decir

$div\vec{v}=\triangledown \cdot \vec{v} =\left ( \sum _{i=1}^{3}\frac{\partial }{\partial x_{i}}\vec{e_{i}} \right ) \cdot \left ( \sum _{j=1}^{3} v_{j}\vec{e_{j}} \right )=\sum _{i=1}^{3}\frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}}$

El significado físico de este operador es muy distinto que para un gradiente. La divergencia de un vector corresponde al flujo neto de ese vector multiplicado por el área, por unidad de volumen. De esta forma, $div\vec{v}$ representa el flujo volumétrico neto de salida por unidad de volumen. Cuando $div\vec{v}>0$ , el flujo se dice que es divergente y cuando $div\vec{v}<0$ se dice que es convergente y cuando $div\vec{v}=0$ el flujo es incompresible (lo cual, para nuestro caso, va a implicar que el fluido sometido a estudio es un líquido ideal e incompresible).

En general cuando una función (vectorial o tensorial) tiene divergencia igual a cero se dice que es solenoide. Una función solenoidal es aquella que en la que no hay generación, esto es, todo lo que entre por dicha función en cada punto saldrá.

3.3. Operador rotacional

El operador rotacional se puede interpretar como la densidad de área infinitesimal de la circulación de un campo dado. En otras palabras, el operador rotacional informa sobre la rotación infinitesimal de un campo vectorial. La dirección del vector resultante es el eje de rotación y la magnitud de este vector es la magnitud del eje de rotación. De hecho, en mecánica de fluidos se define al vector de vorticidad, $\vec{\omega }$ , como el rotacional del vector velocidad, es decir, el producto vectorial del operador nabla por el vector velocidad.

$rot(\vec{v})=\vec{\omega }=\triangledown \times \vec{v}$

Este vector indica la tendencia de una partícula de fluido a rotar como se vería por un observador que viaja con dicha partícula. Como es lógico, un fluido que satisfaga que $\triangledown \times \vec{v}=0$ se llama irrotacional.

4. TEOREMA DE STOKES Y TEOREMA DE LA DIVERGENCIA DE GAUSS

En geometría diferencial, el teorema de Stokes, también llamado teorema de Stokes-Thomson, es una proposición sobre la integración de formas diferenciales que generaliza varios teoremas del cálculo vectorial en variedades diferenciables. Se nombra así por George Gabriel Stokes (1819-1903), a pesar de que la primera formulación conocida del teorema fue realizada por William Thomson y aparece en una correspondencia que él mantuvo con Stokes fechada el 2 de julio de 1850.

Stokes puso el teorema como una pregunta en el examen de 1854 del Premio de Smith, lo que dio como resultado que ahora lleve su nombre. El teorema de Stokes es una extensión directa del teorema de Green, en tanto que relaciona la integral de línea, $l$ , de un campo vectorial alrededor de una curva cerrada simple, $C$ , en $R^{3}$ con la integral sobre una superficie, $S$ , de la cual $C$ es frontera. Más precisamente, el teorema de Stokes establece que la integral de la componente normal del rotacional de un campo vectorial , $\vec{F}$ , sobre una superficie, $S$ , es igual a la integral de la componente tangencial de $\vec{F}$ alrededor de la frontera $C$ de $S$ .

$\int _{S}rot\vec{F}\cdot d\vec{S}=\int _{C}\vec{F}\cdot d\vec{l}$

El teorema de la divergencia de Gauss se define de la siguiente manera:

Sea $V$ un sólido simple de $R^{3}$ y $S=\partialV$ su borde, orientado con la normal unitaria exterior $\vec{n}$ . Sea un campo vectorial de clase $C^{1}$ . Entonces

$\int _{V}div\vec{F}=\int _{S}\vec{F}\cdot \vec{n}dS$

El teorema de la divergencia de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradsky, relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la integral de su divergencia en el volumen delimitado por dicha superficie. Intuitivamente se puede concebir como “la suma de todas las fuentes menos la suma de todos los sumideros da el flujo de salida neto de una región”. Es un resultado importante en física, sobre todo en electrostática y en dinámica de fluidos. Desde el punto de vista matemático es un caso particular del teorema de Stokes.

Autor

Adrián Campos Sánchez

&

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
[Imágenes]: https://pixabay.com/es/

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