Un problema muy antiguo.
La antigua geometría de Euclides.
En el capítulo anterior estuvimos hablando sobre las distintas corrientes filosóficas que habían discutido sobre las ideas de espacio y tiempo. Hoy nuestra batalla consiste en averiguar cómo surge la geometría diferencial, algo importantísimo para hacer una descripción dinámica del espacio tiempo. Nuestro camino empieza con Euclides.
La geometría euclidiana ha sido durante la mayor parte de nuestra historia reciente la que ha imperado en todos los aspectos del estudio de los sistemas físicos. No fue hasta el siglo XIX, cuando un joven matemático alemán llamado Georg Bernhard Riemann, que se fue capaz de imaginar una geometría donde no se cumplían todos y cada uno de los postulados de Euclides, y que además pudiera ser perfectamente válida.
El quinto postulado.
Resulta que este problema había traído innumerables dolores de cabeza a todos los matemáticos durante los siglos posteriores a la publicación de Los elementos de Euclides. La geometría euclidiana postulaba que el espacio era tridimensional y que además era plano. Y este, amigos míos, era el postulado que más molestaba entre la comunidad matemática:
Postúlese… Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos ángulos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Euclides. Los elementos I, 32. Siglo IV a.C
Traducido al castellano podríamos decir que este postulado nos viene a contar algo que intuitivamente podemos observar nosotros mismos si tomamos una hoja de papel y un bolígrafo: dos rectas paralelas nunca se cortan, es decir, siempre guardan entre ellas una distancia finita en el plano.
La posibilidad de imaginar.
Este postulado era el más difícil de interpretar, puesto que no se sabía si era un teorema, demostrable con el resto de los cuatro axiomas, o era realmente un principio base del que se partía, es decir, un axioma como los otros cuatro. El propio Gauss le dejó a su joven alumno que explorara la posibilidad de una geometría donde el quinto postulado no se cumpliera. El humilde y tímido Riemann estuvo a la altura. En una conferencia dada el 10 de junio de 1854 en la Universidad de Gotinga, Alemania, Riemann sorprendió al mundo abriendo un campo nuevo dirigido hacia geometrías de espacios con dimensiones más altas y, por supuesto, no necesariamente planos. Se puede decir que Riemann dio la posibilidad a los matemáticos de imaginar espacios de más dimensiones.
Conceptos básicos de la geometría curva.
Concepto de una variedad N-dimensional, 
.
Uno de los conceptos clave más importante en esta teoría es el de una variedad. Sabemos de la relatividad especial que el espacio-tiempo a escalas pequeñas, por ejemplo las de un experimento, debe ser el espacio de Minkowski, que es necesariamente plano. Con esta idea intuitiva de lo que debemos buscar, definimos ahora lo que es una variedad: Una variedad N-dimensional, es un espacio arbitrario que localmente, a pequeñas escalas, se parece al espacio plano N-dimensional 
. En cada punto de la variedad se puede definir lo que se llama el espacio tangente, 
, que es, en términos matemáticos, isomorfo a .
No se asuste el lector con esta nueva terminología, quédese con que isomorfo significa que son prácticamente iguales. A nivel matemático el espacio tangente en cada punto y la variedad solo coinciden exactamente en ese punto p donde se define, pero a nivel físico podemos admitir cierto intervalo de error y asumir que en un entorno pequeño del punto p el espacio tangente es una buena aproximación de la variedad. Es posible trabajar en un amplio marco de variedades arbitrarias en distintas coordenadas. Un ejemplo muy útil de lo que es una variedad es la Tierra. Sabemos ampliamente que se trata de una esfera que tiene una superficie curva, pero localmente, nosotros nunca percibimos esta curvatura, nos parece plana. ¡Jaque mate terraplanistas!
Operadores diferenciales en , derivada covariante.
Es posible definir vectores, operadores y tensores en los espacios tangente de cada variedad. La expresión explícita de estas entidades no se mostrarán aquí, solamente se mencionará que pueden ser descritos en cualesquiera sistemas de coordenadas que admitan un cambio general del tipo 
. ¡Pero cuidado! Solo será posible describirlos en los espacios tangentes puesto que son estos los espacios vectoriales en los que estamos acostumbrados a trabajar. Entonces ahora se nos plantea un problema con las derivadas, o de manera general con los operadores diferenciales.
Si algún lector recuerda su etapa en el instituto, sin duda recordará que una derivada se definía a partir de un límite. Este límite comparaba a una función (o un vector de forma general) evaluado en un punto p y en un punto muy cercano a p, al que llamaremos q. El ejemplo usual que se toma es imaginar un coche a toda velocidad dirigiéndose hacia una curva. Si este no tiene la intención de frenar, al llegar a la curva saldrá en línea recta por ella, aquí encontramos la derivada de esta curva que puede ser una función arbitraria f(x). ¿Pero qué ocurre si yo quiero hacer una derivada en una variedad? No puedo construir el ejemplo anterior en la variedad puesto que si me alejo un poco del punto donde he definido mi espacio tangente ya no estaré en el mismo espacio vectorial y no podré hacer este límite de una manera matemáticamente correcta.
El límite, por tanto, no estará bien definido. Es aquí donde surge un concepto nuevo de derivada, la derivada covariante en notación de Einstein:
La derivada nunca fue tan complicada.
A pesar de lo rara que pueda resultar la anterior expresión, la clave reside en dos términos. El primero hace referencia a la derivada parcial de toda la vida. Sí, esas que os obligaron a aprender a hacer de memoria en el instituto. El segundo es un término que denominamos no tensorial puesto que depende de cada punto y de las coordenadas elegidas. Lo que estamos haciendo es comparar dos vectores pertenecientes al mismo espacio 
. Uno es el que ya teníamos en el espacio tangente generado por q y, el otro, se trata de una imagen resultante que proviene del vector que vivía en el espacio p, pero que se ha trasportado paralelamente al espacio tangente generado por q. Este trasporte paralelo nos lo da el factor 
.
Probablemente usted, que tranquilamente estaba disfrutando de este maravilloso día, estará educadamente maldiciéndome en todos los idiomas posibles. ¡Yo vine para descubrir la relatividad general, y me traen una historia de derivadas raras, de espacios curvos y una nomenclatura que bien más se parece al vocabulario kafkiano! Le pido pues, paciencia, estos conceptos serán necesarios para entender aspectos sorprendentes mucho más tarde. Pero como me debo exclusivamente a que usted entienda casi a la perfección lo que intento transmitirle, está en mi obligación ponerle un ejemplo sencillo.
Un ejemplo ¿sencillo?
La clave del concepto de esta nueva derivada reside en que necesitamos comparar dos objetos que, a priori, viven en espacios que no son comparables. Hagamos un símil con las cantidades monetarias: Imaginemos que usted cobra unos cinco euros por hora aquí en España por un determinado trabajo, pero, su odioso primo James, aquel que siempre está recordándole lo feliz que es viviendo en Estados Unidos, le dice que él cobra 6,04 dólares estadounidenses por hora y por el mismo trabajo. Obviamente él no pierde la oportunidad de llamarle y restregárselo vilmente. Pero usted, que bien conoce y sabe sobre geometría diferencial y derivadas covariantes, le expone a su primo el hecho de que se equivoca, que no puede comparar a lo bruto dólares con euros, puesto que pertenecen a sistemas monetarios distintos.
Si quisiera hacerlo bien, debería transportar los dólares a euros, en un camino (imaginario) que transformaría una cantidad en otra, y se daría cuenta de que, cuando pudiera comparar ambas cantidades en euros, ambos cobran exactamente lo mismo. Los dólares es el vector en el espacio de p, los euros, el del espacio de q, el camino de dólares a euros es el transporte paralelo que hace que podamos trabajar con un vector en q, que proviene esencialmente del que existía en p, de la misma forma que 5 euros y 6,04 dólares estadounidenses representan lo mismo solo que expresados en sistemas distintos.
Entendiendo la curvatura del espacio.
Planes de futuro.
A lo largo de este artículo hemos hablado de dos conceptos fundamentales de la geometría diferencial como son las variedades y la derivada covariante. Estos dos objetos, aunque tediosos a la hora de explicarse, son fundamentales para lo que en la próxima entrega definiremos. Se trata de uno de los objetos más importantes para describir los espacios curvos, el tensor de Riemann. Este tensor será fundamental para poder comprender las ecuaciones de Einstein, así que no te lo pierdas. ¡Hasta la próxima mentes pensantes!
Miguel Jimenez Ortega
Graduado en Física por la Universidad de Granada, máster en física teórica en la Universidad de Valencia. Amante de la divulgación científica.
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