Tiempo de lectura: 10 minutos

Introducción

En este quinto artículo de la serie se va a comenzar a realizar el análisis dinámico del movimiento de los fluidos mediante el teorema del transporte de Reynolds. Hasta ahora, se han introducido los autores más relevantes en el estudio de los fluidos, se han expuesto las hipótesis y los objetivos que persigue esta rama de la mecánica, se han descrito las concepciones cinemáticas del movimiento de los fluidos y se han expuesto de forma superficial los artilugios matemáticos precisos para comprender el análisis de los fluidos.

TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS

Volumen fluido

Embalse, Cañón, Formaciones Rocosas
El gran cañón

Como se indicó en el artículo relacionado con la cinemática, un volumen fluido es un volumen contenido por una superficie cerrada de partículas fluidas. Imaginémonos un estanque lleno de agua. En dicho estanque podemos encerrar de forma imaginaria un determinado volumen de agua mediante una superficie cerrada ficticia en un momento determinado. Supongamos que en un instante determinado nuestro volumen fluido se encuentra encerrado por una superficie cerrada con forma de esfera.

Si el agua en el estanque no está en reposo (el viento causa su movimiento, o los peces que pueda haber en su interior mueven el agua, o los pájaros, o quizás no es un estanque sino un río, y el agua fluye…), las partículas fluidas que constituían nuestra esfera originalmente, se moverán, de modo que la superficie que constituían seguirá cerrada (ellas siempre permanecerán en contacto entre sí, por lo que el agua que encierran sigue dentro de ellas). No obstante, la forma que tenían irá cambiando.

Ejemplo con una pompa de jabón

Para ejemplificar estos conceptos pensemos en una pompa inmensa de jabón. Cuando se acude a ver un espectáculo de pompas de jabón, es habitual que se genere una pompa de jabón grande, que es una superficie cerrada formada por partículas que siempre permanecen formando una superficie cerrada (hasta que se rompe la pompa). Sin embargo, por efecto del viento, la pompa se va deformando, alargando, achatando, etc; hasta que se rompe.

Pompas De Jabón, Hacer Pompas De Jabón
Pompas de jabón

Pues bien, en el caso de los fluidos (el aire, el agua, el aceite), en el interior de un mismo fluido (no vamos a considerar por ahora las superficies de contacto entre distintos fluidos, como podría ser la superficie de contacto entre embalse y la atmósfera) si consideramos un conjunto de partículas que forman una superficie cerrada en un instante inicial, seguirán formando una superficie cerrada con el transcurso del tiempo, pero dicha superficie tendrá una forma distinta a la original en general.

Cantidad de una magnitud en un volumen de control

Ahora vamos a considerar una magnitud física extensiva por unidad de volumen (varía al variar la masa, como la densidad, la energía, la cantidad de movimiento, etc). Llamaremos a esta magnitud \phi (\vec{x},t), que va a variar en función de la posición y el instante de tiempo que se considere. Pues bien, la cantidad total de esta magnitud que hay en en volumen arbitrario, que en general podrá cambiar con el tiempo y que definiremos como más nos convenga (un volumen de control V_{c}(t)) es:

\int_{V_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega

Donde la integral en \Omega se extiende a todo el volumen de control considerado. En este caso, el volumen de control es arbitrario, es decir, no siempre va a contener a las misma partículas fluidas. Por ejemplo, imaginemos un río que fluye, y colocamos un cubo imaginario dentro del río. A medida que va fluyendo agua, hay nuevas partículas que entrarán y saldrán de nuestro cubo, pero en este caso, nuestro cubo está quieto (el volumen de control en este caso hemos decidido que no dependa del tiempo).

Por el contrario, podemos querer que nuestro cubo acompañe a la corriente río abajo, y en este caso, su posición cambiará con el tiempo. También podríamos desear que vaya cambiando de forma con el tiempo. Nuestro objetivo va a ser el de estudiar lo que ocurre dentro de nuestro volumen de control, que puede permaneces quieto y sin deformarse o, en general, deformarse y moverse en función del tiempo.

Cambio de una magnitud en un volumen de control

Cascadas, Naturaleza, Río, El Agua
Movimiento de agua río abajo

Una vez hemos definido la magnitud \phi (\vec{x},t) que deseamos estudiar, y hemos fijado el volumen de control que vamos a considerar, vamos a ver cómo cambia la magnitud que tenemos en nuestro volumen de control con el tiempo. Es decir, queremos calcular cuánto vale:

\frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega

Para realizar esta derivada, hay que tener en cuenta que puede cambiar tanto el volumen de control (que es el recinto en el que se está realizando la integración), como el integrando. Es decir, es como si sumáramos objetos cuyo valor cambia con el tiempo, y la cantidad de objetos que sumamos también cambiase con el tiempo; y queremos saber cuánto vale el cambio de esa suma.

Pongamos un ejemplo sencillo, imaginemos que queremos saber cuánto va cambiando a lo largo de los días de un año (derivada) el dinero que una determinada marca de ropa tiene materializada en sus productos. Lo que se está pidiendo es que se calcule la variación diaria (derivada) de la suma (integral) extendida a todas las tiendas que tiene esa marca (volumen de control) del precio (magnitud \phi(\vec{x},t)) de cada una de las prendas que tiene (d\Omega). La variación puede deberse a que abran o cierren nuevas tiendas (cambia el volumen de control en el que se está integrando), pero también puede cambiar el valor total de la suma porque se vendan algunas prendas o porque lleguen nuevas prendas de los almacenes; o porque el precio de cada prenda varíe por rebajas u ofertas (cambia el valor de la magnitud). En definitiva, esto es lo que se está buscando hacer.

Fórmula de Leibniz

Cálculo Diferencial, Tablero, Escuela
Ejemplo sencillo de integral definida

El estudio de las derivadas de integrales se ha desarrollado a lo largo de la historia. En el siguiente enlace podéis encontrar desde los casos más simples hasta la fórmula más general desarrollada por Leibniz para el caso de derivadas de integrales definidas con recintos de integración unidimensionales. Para el caso tridimensional, se desarrolla la misma idea, aunque para evitar entrar en la matemática del desarrollo (cualquiera interesado en conocer el desarrollo matemático puede escribirlo en los comentarios y estaré encantado de ponerlo o de hacer un artículo al respecto), se presenta el resultado final a continuación:

\frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega=\int_{V_{c}(t)} \frac{\partial \phi(\vec{x},t)}{\partial t} d\Omega + \int_{\Sigma_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) \vec{v_{c}}\cdot \vec{n} d\sigma

En esta expresión, el primer término suma en todo el volumen de control el cambio en la magnitud considerada, y el segundo término tiene en cuenta el cambio del propio volumen de control, ya que suma en toda la superficie del volumen de control la magnitud considerada. La velocidad \vec{v_{c}}\cdot \vec{n} es la velocidad con la que avanza la superficie del volumen de control en el sistema de referencia considerado.

Teorema del transporte de Reynolds

Como el volumen de control que se ha considerado es un volumen genérico, podemos ahora considerar lo que ocurre si elegimos un volumen de control de modo que siempre sea un volumen fluido. Es decir, vamos a elegir una superficie cerrada arbitraria que cambia con el tiempo pero que, además, siempre va a estar formada por las mismas partículas fluidas y siempre va a contener a las mismas partículas de fluido. Esto se expresa sencillamente como sigue:

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega=\int_{V_{f}(t)} \frac{\partial \phi(\vec{x},t)}{\partial t} d\Omega + \int_{\Sigma_{f}(t)} \phi(\vec{x},t) \vec{v}\cdot \vec{n} d\sigma

En este caso, la velocidad \vec{v} es la velocidad del fluido, por lo que \vec{v}\cdot \vec{n} representa la velocidad de fluido en la dirección perpendicular a la superficie. Pues bien, ahora supongamos que elegimos un volumen de control arbitrario, de tal modo que en un instante t determinado coincide con un volumen fluido (esto siempre va a ser así, ya que en cada instante de tiempo el volumen de control que hayamos elegido va a coincidir con un volumen fluido determinado). Es decir, si fuésemos haciendo fotos a la evolución del flujo, para cada instante de tiempo se tiene que en la superficie imaginaria de nuestro volumen de control inmerso en el fluido va a haber partículas fluidas generando la superficie cerrada de nuestro volumen de control.

Mirando ambas expresiones en el mismo instante

Si ahora consideramos ese instante determinado, t, en el que instantáneamente coinciden el volumen de control y un volumen fluido, y restamos las dos ecuaciones, los primeros términos de las dos ecuaciones son iguales por lo que se cancelan, ya que la magnitud considerada es la misma, por lo que su variación (derivada) también será la misma, y al estar sumada en el mismo volumen (ya que V_{f}(t) coincide con V_{c}(t) en ese instante), ese término es igual en ambas expresiones. Por otra parte, el segundo término tiene el mismo recinto de integración (al coincidir los volúmenes de control y fluido, las superficies que los delimitan también coinciden).

Con todo lo dicho, se llega a la expresión del Teorema del transporte de Reynolds:

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega= \frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega + \int_{\Sigma_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) (\vec{v}-\vec{v_{c}})\cdot \vec{n} d\sigma

Conclusiones

Personas, Mujer, De Viaje, Aventura
Visión general de lo que queda por ver

En definitiva, para calcular cuánto varía una magnitud en un volumen fluido, que en un instante determinado coincide con un volumen de control (elegido de forma arbitraria), basta con conocer cuánto varía esa magnitud en el volumen de control, y conocer cuánta cantidad de esa magnitud entra o sale del volumen de control (segunda integral, que suma en toda la superficie el producto de la magnitud por la velocidad relativa normal a la superficie).

A partir de este punto, ha de recordarse que existen tres leyes de conservación en el universo. La masa, la cantidad de movimiento y la energía han de conservarse. Por ello, y como estas magnitudes han de conservarse en un volumen fluido cualquiera, se escogerán como magnitudes \phi(\vec{x},t) la masa, la cantidad de movimiento y la energía (todas ellas por unidad de volumen, es decir se tomarán la densidad, \rho (\vec{x},t); la cantidad de movimiento por unidad de volumen, \rho\vec{v} (\vec{x},t); y la energía por unidad de volumen (es lo mismo para dividir la energía entre volumen, tomar la energía específica, por unidad de masa, y multiplicar por la densidad), \rho e(\vec{x},t).

A partir del siguiente artículo, comenzaremos a escribir las ecuaciones de la mecánica de fluidos tanto en forma diferencial como integral, y una vez acabada la serie, propondremos hacer unas sesiones por vídeo de resolución de ejercicios de mecánica de fluidos (si te resulta interesante, ponlo en los comentarios). Un saludo y, ¡¡¡hasta la próxima!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

&

Adrián Campos Sánchez

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández
Lo sentimos, de momento el autor de este post ha decidido no compartir información personal.
Puntuación
Votos: 2 Promedio: 5
Log in or Register to save this content for later.
#

Sin respuestas todavía

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *