abril 3, 2021

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El tensor de Riemann, el santo grial de la geometría diferencial.

Identificación matemática de la curvatura.

Hace varias semanas estuvimos hablando sobre la geometría diferencial. Seguro que recuerdan aquel artículo algo tedioso. Probablemente, en algún momento de su lectura, el lector se replanteó la importancia real de dar tantas definiciones formales. La respuesta hoy es clara: no hay duda, todo aquel contexto era necesario para poder definir ahora uno de los tensores más famosos de toda la geometría, el tensor de Riemman. Este está relacionado con el concepto de curvatura y surge de la comparación nuevamente. Pero esta vez no de vectores, si no de derivadas covariantes. A esta “comparación” entre operadores, si me permiten los matemáticos llamarla así, se le llama conmutador y viene definido de la forma:

{\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}

En nuestro caso concreto, si esta cantidad la aplicamos a un vector, estaremos midiendo por así decirlo la diferencia existente entre que un vector recorra un camino a que recorra otro. Cuando hacemos, pues, este cálculo, obtenemos lo siguiente:

$[\nabla_{\mu},\nabla_{\nu}]V^{\lambda}=R_{\mu\nu\rho}^{\lambda}V^{\rho}-T_{\mu\nu}^{\rho}\nabla_{\rho}V^{\lambda}$

La manifestación de la curvatura con el tensor de Riemann.

En la anterior expresión aparecen el tensor de Riemann $R_{\mu\nu\rho}^{\lambda}$ por un lado, y el tensor de torsión $T_{\mu\nu}^{\rho}$ por otro. La idea fundamental es que así es como aparece de manera natural el concepto de curvatura, reflejado en que tomar dos caminos distintos en un espacio curvo nos lleva a una diferencia en el estado final de los vectores que han recorrido cada camino. Esto no ocurre en el espacio plano, donde si transportamos dos vectores estos siempre apuntan al mismo sitio independientemente del camino que recorran. Esta geometría no plana se pone de manifiesto con el tensor de Riemann, un objeto importantísimo para la posterior deducción de las ecuaciones de Einstein.

La curvatura no es algo tan trivial como parece.

El transporte paralelo en un espacio curvo, un concepto muy sutil.

Merece la pena pararse un momento en explicar con mayor detenimiento qué es esto de que la curvatura surge de manera natural lo del transporte paralelo. ¡Será facil para usted, amigo mío, que lleva cuatro sufridos años de carrera universitaria! Con gran razón el lector podría reprocharme. Por si le sirviera de consuelo, le podría responder que cuatro años en la carrera de física de poco sirven cuando nos queremos adentrar con profundidad en las grandes teorías desarrolladas por el ser humano. Pero sí que podemos aproximarnos a su entendimiento. Resaltemos los ejemplos sencillos como metodología principal para poder comprender ideas más complejas. Empecemos por algo simple, ¿qué significa que algo sea curvo?

Curvatura…curvatura eres tú.

Siempre que pensamos en algo curvo la primera imagen que viene a nuestra mente es la de una pelota. Genial, ya nos hemos topado con una imagen visual de lo que queremos comprender. Pero vamos a ir un poco más allá. Imaginemos que pudiéramos transportar una aguja por toda la superficie de la pelota sin que esta se pinchara. Si inicialmente nuestra aguja se encontrara en uno de los polos de la pelota, apuntando hacia arriba, y tuviéramos la osadía de “transportar” (ojo que aquí ya aparece el concepto) esta aguja hasta, por ejemplo, el ecuador de esta pelota, ¿diría el lector que se encuentra apuntando hacia la misma dirección en la que lo hacía inicialmente? ¡Por supuesto que no! Está dirigida hacia una dirección que guarda 45º con la inicial. Si rompiéramos la pelota y extendiéramos su tela sobre el suelo de nuestra casa, ¿qué cree ud que pasaría entonces con la dirección de la aguja? Sorprendentemente nada, sigue apuntando y lo seguirá haciendo hacia arriba, por mucho transporte paralelo que quisiera ud darle.

La curvatura del universo y de la pelota de playa.

De la misma forma que la pelota de playa, nuestro espacio-tiempo presenta también curvatura, y esa no coincidencia de los vectores (llámese aguja para el ejemplo visual) al realizarles un transporte paralelo viene reflejado en que tomar dos caminos distintos no nos llevarán al mismo vector. Esto matemáticamente viene mostrado en los dos tensores anteriormente mencionados. Esta idea relacionada con la geometría es sumamente importante, puesto que nos describe la naturaleza tanto física como matemática del espacio-tiempo. Existen algunas variantes del tensor de Riemann, las denominadas “contracciones” de este, que simplemente son objetos que surgen de la restricción del número de componentes que este tiene. Uno de los más importantes es el tensor de Ricci, definido como:

$R_{\sigma\nu}=\partial_{\rho}\Gamma_{\nu\sigma}^{\rho}-\partial_{\nu}\Gamma_ {\rho\sigma}^{\rho}+\Gamma_{\rho\lambda}^{\rho}\Gamma_{\nu\sigma}^\lambda-\Gamma_{\nu\lambda}^{\rho}\Gamma_{\rho\sigma}^\lambda$

Este tensor sí lo escribimos explícitamente, puesto que será de gran importancia a la hora de elaborar las ecuaciones de Einstein y volveremos a hacer uso de él en próximos capítulos.

La conexión de Levi-Civita.

Necesitamos una pista más.

El formalismo desarrollado hasta aquí ha sido de una gran belleza, pero para aquel lector ávido habrá algo que todavía no le cuadrará, hay algo que todavía no se ha revelado, alguna pista más falta para construir el puzzle completo. Y es que resulta que los objetos tipo $\Gamma_{\rho\lambda}^{\nu}$ son muy bonitos, pero ¿alguien sabe realmente qué forma tienen? La respuesta es que no hay una respuesta única. Al tratarse de objetos no tensoriales, es decir, que dependen de las coordenadas elegidas, existe una gran variedad de formas de fijarlos. Pero para nuestro estudio hay una que es la que se lleva el premio, la llamada conexión de Levi-Civita.

Conectados con el espacio-tiempo.

Esta quizá es la parte menos formal de esta serie, puesto que la obtención exacta de la forma de $\Gamma_{\rho\lambda}^{\nu}$ es un trabajo arduamente complejo, incluso para un humilde estudiante como yo. Estos objetos se relacionan con la métrica del espacio de la forma:

$\Gamma_{\rho\lambda}^{\nu}=\frac{1}{2}g^{\nu\mu}\left(\partial_{\rho}g_{\mu\lambda}+\partial_{\lambda}g_{\rho\mu}-\partial_{\mu}g_{\rho\lambda}\rigth)$

Esta conexión nos permite relacionar completamente todas las cartas de nuestra baraja. Así es como nuestros tensores fundamentales de curvatura se relacionan en última instancia con la métrica del espacio, que es el objeto que describe sus propiedades geométricas. A parte, debido a las propiedades de esta conexión, el tensor de torsión desaparece del cálculo antes mencionado para la curvatura. Ahora es el tensor de Riemman el que lleva todo el peso de la curvatura. El problema ya está cerrado y compacto, solo queda establecer la interpretación general de la física del espacio tiempo para poder llegar a las ecuaciones de Einstein.

Bibliografía.

Apuntes de Relatividad General. Bert Janssen. Universidad de Granada.
Gravitación. D.D. Ivanenko, G.A Sardanashvili.
The Evolution of Physics. Albert Einstein, Leopoldo Infeld.

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Miguel Jimenez Ortega

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Graduado en Física por la Universidad de Granada, máster en física teórica en la Universidad de Valencia. Amante de la divulgación científica.

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Descubriendo la Relatividad General #3: Tensor de Riemann, curvatura y conexión de Levi-civita.