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Introducción

En este nuevo artículo de la serie se va a presentar la ecuación de continuidad. Ha de entenderse que las ecuaciones básicas de la física son leyes de conservación. Las magnitudes que se conservan a nivel general en la mecánica clásica son la masa, la energía y la cantidad de movimiento.

Leyes de conservación fundamentales

Mar, Océano, El Flujo De, Arrecife

  • Masa: En la mecánica clásica, la masa no puede variar (puede cambiar de forma, mediante reacciones químicas, por ejemplo, pero no puede crearse ni destruirse masa).
  • Energía: En el caso de la conservación de la energía, la ecuación básica sería la ecuación de la energía cinética. Partiendo de la 2ª Ley de Newton y premultiplicando por la velocidad, se llega a que la variación de energía cinética se debe a la potencia desarrollada por el resto de fuerzas. En caso de que las fuerzas que actúen sean conservativas, se puede expresar la fuerza como menos el gradiente de un potencial (ver el artículo sobre operadores diferenciales). De este modo se obtiene que la energía mecánica (suma de la energía cinética y la potencial) varía solo cuando actúan fuerzas disipativas (no conservativas, debidas a fenómenos de fricción, viscosidad, etc) o cuando actúa alguna otra potencia que favorezca el movimiento (generada mediante un motor por ejemplo).

\vec{F}=m\cdot \vec{a}=m\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}\Rightarrow P=\vec{v}\cdot \vec{F}=\vec{v}\cdot m\cdot \frac{d\vec{v}}{dt}=m\cdot \frac{d(\frac{v^{2}}{2})}{dt}=\frac{dT}{dt}

  • Cantidad de movimiento: Finalmente, se tiene la ecuación de conservación de movimiento o 2ª Ley de Newton (\vec{F}=m\cdot \vec{a}=\frac{d\vec{p}}{dt}).

Significado de las leyes de conservación

Cantidad de movimiento

Antes de profundizar en la aplicación de las leyes de conservación en la mecánica de fluidos, han de entenderse algunos conceptos. En primer lugar, con relación a la conservación de la cantidad de movimiento (\vec{p}=m\cdot \vec{v}), en un primer instante, puede parecer que la cantidad de movimiento sólo se conserva si la suma de fuerzas que actúan sobre el sistema considerado es nula (en este caso, la derivada o variación de la cantidad de movimiento sería nula y por tanto la magnitud se mantendría constante en el tiempo).

No obstante, en virtud de la 3ª Ley de Newton, cuando dos sistemas interactúan entre sí, las fuerzas que ejerce uno de ellos sobre el otro son iguales y de signo opuesto a las que ejerce este último sobre el primero. Por ello, en caso de considerar un sistema que englobe a ambos, ambas fuerzas se anulan. Podría seguirse el mismo razonamiento indefinidamente hasta englobar al Universo entero y, en ese caso, ninguna fuerza estaría actuando sobre él, por lo que la cantidad de movimiento global ha de conservarse.

Antes de proseguir, han de hacerse dos comentarios: en primer lugar, no ha de olvidarse que se está realizando el análisis desde un punto de vista clásico y, en segundo lugar, al considerar sistemas concretos, aparecerán fuerzas sobre él, por lo que la cantidad de movimiento no se conservará, pero se ha expuesto el motivo por el que se refiere a esta ecuación como ecuación de conservación de la cantidad de movimiento.

Energía

Realizando un análisis análogo se puede ver que ocurre lo mismo con la energía solo que en este caso, cuando la energía mecánica de un sistema disminuye puede ser por dos factores: en primer lugar, podría deberse a un efecto disipativo, en cuyo caso la energía perdida se ha transformado en calor (por lo que se ha transformado, no se ha destruido); en segundo lugar, podría deberse a la acción de una fuerza externa que no fuese ni disipativa ni conservativa (una fuerza puntual por ejemplo que podría favorecer o impedir el movimiento).

En este último caso, puede verse que, como la fuerza que se está ejerciendo sobre el sistema ha de ser igual y opuesta a la que el sistema ejerce sobre el exterior, (y siendo la velocidad del punto de aplicación de la fuerza la misma en ambos casos, al tratarse de fuerzas de contacto, y tratarse del mismo punto), la potencia generada sobre el sistema será igual y de signo opuesto a la que el sistema ejerce sobre el exterior. Nuevamente, englobando en un nuevo sistema ambos sistemas, las potencias se anularían.

Ecuación de continuidad en forma integral

Río Mckenzie, Oregon Central, Forestales

Centrando la atención ahora en la ecuación de conservación de masa (o ecuación de continuidad), vamos a aplicar los conceptos mencionados en el anterior capítulo y, en particular, el Teorema del transporte de Reynolds. Comenzaremos exponiendo la ecuación fundamental de partida. En este caso, según el principio de conservación de la masa, la masa se conserva, por lo que su derivada temporal ha de ser nula. Como ya se mencionó, en mecánica de fluidos se opta por un enfoque euleriano, por lo que la masa va a ser la suma de las masas de todas las partículas contenidas en un volumen fluido (es decir, la integral de la función de densidad).

\frac{dm}{dt}=\frac{d}{dt}\int_{V_{f}(t)}^{}\rho (\vec{x},t)dV=0

Aplicando el Teorema del transporte de Reynolds, es decir,

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega= \frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) d\Omega + \int_{\Sigma_{c}(t)} \phi(\vec{x},t) (\vec{v}-\vec{v_{c}})\cdot \vec{n} d\sigma

Y tomando \phi(\vec{x},t)=\rho(\vec{x},t), se llega a

\frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)} \rho(\vec{x},t) dV + \int_{\Sigma_{c}(t)} \rho(\vec{x},t) (\vec{v}-\vec{v_{c}})\cdot \vec{n} dS=0

Esta ecuación constituye la denominada ecuación de continuidad en forma integral, donde la primera integral se extiende a todo el volumen de control (recordemos que, si bien el volumen fluido no era arbitrario, el volumen de control sí), mientras que la segunda integral se extiende a la frontera del volumen de control (superficie que delimita el volumen de control).

Ecuación de continuidad en forma diferencial

A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, y haciendo uso del Teorema de la divergencia (ver artículo sobre operadores diferenciales), puede transformarse la ecuación integral en una diferencial. Para ello, se considerará un volumen de control fijo (recordemos que el volumen de control era arbitrario, por lo que puede realizarse este paso sin perder generalidad).

Al ser el volumen de control fijo en el sistema de referencia considerado, no depende del tiempo y la derivada temporal de la integral es igual a la integral de la derivada parcial del integrando (puede verse el la fórmula de Leibniz en este enlace, que es la forma general para derivar integrales). Por otra parte, dentro de la integral de superficie, al ser el volumen de control fijo, la velocidad de su frontera es nula, es decir, \vec{v_{c}}=0.

Teniendo en cuenta todas las consideraciones, se llega a la expresión

\int_{V_{c}} \frac{\partial \rho(\vec{x},t)}{\partial t}\ dV + \int_{\Sigma_{c}} \rho(\vec{x},t) \vec{v}\cdot \vec{n} dS=\int_{V_{c}} (\frac{\partial \rho}{\partial t}\ + \triangledown \cdot (\rho \vec{v}))dV=0

Expresión diferencial

En la expresión anterior, tanto la velocidad como la función de densidad son campos, es decir, dependen de la posición y del instante (toman valores en función de la posición espacial y del instante temporal). Finalmente, teniendo en cuenta que el volumen de control es arbitrario, puede escogerse cualquier volumen de control. La única forma de que la integral siempre sea nula, pudiendo tomar cualquier dominio de integración es que el integrando sea nulo, es decir, que sea:

\frac{\partial \rho}{\partial t}\ + \triangledown \cdot (\rho \vec{v})=0

Esta ecuación constituye la forma diferencial de la ecuación de continuidad y tiene una gran importancia. En particular, en el caso de un fluido incompresible (como un líquido en primera aproximación, o un gas a baja presión), puede considerarse que la densidad es constante, y no cambia ni con el tiempo (derivada parcial temporal nula) ni con la posición (puede sacarse fuera de la divergencia). En este caso, la ecuación se reduce a que

\triangledown \cdot \vec{v}=0

En el caso de flujo irrotacional, lo cual se verifica cuando la vorticidad (rotacional de la velocidad) es nula, la velocidad deriva de un potencial (por lo que también se llama flujo potencial). En este caso, el potencial de velocidades ha de cumplir la ecuación de Laplace (su laplaciano ha de ser nulo).

Esto supone la base del estudio potencial de fluidos, y tiene una gran importancia en ramas de la mecánica de fluidos como la aerodinámica, ya que permite construir modelos simples que explican los fenómenos físicos y permiten obtener resultados similares a los experimentales cuando se cumplen las hipótesis. No obstante, hay fenómenos debidos a la viscosidad como el desprendimiento de la capa límite o la aparición de torbellinos en el flujo detrás de objetos que generan gran resistencia y que no se predicen con estas teorías.

Conclusiones

En definitiva, haciendo uso de los teoremas vistos en los dos artículos anteriores hemos sido capaces de dar forma matemática a uno de los principios básicos de la mecánica clásica. A partir de aquí, en los dos artículos posteriores se seguirá un camino similar con las dos leyes de conservación restantes para concluir con esta introducción a la mecánica de fluidos. ¡¡¡Te animo a dejar en los comentarios cualquier duda, sugerencia o impresión, hasta la próxima!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Estudio Ingeniería Aeroespacial en la Politécnica de Madrid. Me apasionan la física y las matemáticas, pero todo conocimiento es bienvenido, y en QS hay sitio para todos ellos.

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