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Introducción

Este artículo pretende servir como precursor a la formulación de la ecuación de cantidad de movimiento en formas integral y diferencial en la mecánica de fluidos. El objetivo es el de introducir al lector a unos conceptos básicos en la mecánica en general y en la mecánica de Newton en particular. De este modo, se abordará directamente el problema de aplicar las leyes de Newton a un volumen de control.

Mecánica clásica

Macro, Cremallera, Artes, Motor, Vintage
Engranajes

En la mecánica clásica, el objetivo último es el de describir el movimiento de un objeto. Una de las formas de describir este movimiento es describiendo su posición en función del tiempo, ya que, conociendo la posición, pueden conocerse la velocidad y la aceleración sin más que derivar.

Mecánica analítica

Para ello, existen diferentes enfoques que serán explicados en futuros artículos y vídeos, como son el enfoque Lagrangiano, que hace uso del cálculo variacional y que suponen que el movimiento que va a ocurrir es aquel que minimice el funcional llamado acción (esto constituye el principio de Hamilton). La mecánica analítica (también llamada teórica), es una interesante rama de la física y de la mecánica, con un marcado carácter matemático.

Mecánica newtoniana

Por otra parte, el enfoque tradicionalmente impartido en las aulas es el enfoque Newtoniano. Este enfoque supone que sobre los objetos que se mueven actúan fuerzas que a su vez generan momentos (respecto de algún punto o eje que se toma como referencial y que suele ser origen del sistema de referencia). Para poder describir el movimiento, ha de realizarse un diagrama de cuerpo libre. Para ello, se aísla cada uno de los objetos que constituyen el sistema y se dibuja un diagrama de las fuerzas que actúan sobre él.

Fuerzas

Apocalipsis, Ante Desastres
Cielo con nubes

Fuerzas fundamentales

Existen únicamente cuatro fuerzas fundamentales en la naturaleza: fuerza electromagnética, fuerza gravitatoria, fuerza fuerte y fuerza débil. En los casos de mecánica clásica en las que no haya cargas ni corrientes, la única fuerza que habitualmente se considera es la gravitatoria.

Fuerzas de contacto y modelos de fuerzas

Sin embargo, es habitual que existan elementos como muelles o disipadores de energía, además de uniones entre objetos. Estos objetos son capaces de almacenar energía o de disiparla, y también son capaces de ejercer fuerzas que favorezcan o entorpezcan el movimiento.

Es habitual que se recurra a modelos simplificadores de estos fenómenos. Por ejemplo, en el caso del contacto entre un bloque y el suelo, suele emplearse el modelo de rozamiento de Coulomb, que relaciona la fuerza tangencial que ejerce el suelo sobre el bloque (que, en virtud de la tercera Ley de Newton será igual y opuesta a la que ejerza el bloque sobre el suelo) con el módulo de la fuerza normal a la superficie de contacto que ejerce el suelo sobre el bloque (F_{roz}=- \nu \cdot N, donde \nu es el coeficiente de rozamiento).

Otro ejemplo habitual es el de la Ley de Hooke para elementos elásticos lineales, que establece una relación lineal entre la fuerza que actúa sobre un muelle y la elongación del mismo (por lo que también se relacionan linealmente la fuerza que ejerce el muelle con la elongación del mismo, aunque esta fuerza será igual y opuesta a la anterior).

Conclusiones de fuerzas

En definitiva, aunque existan diversos modelos para caracterizar las fuerzas de contacto (también llamadas de ligadura) entre objetos, así como modelos que describen el comportamiento de determinados materiales dentro del ámbito de la teoría de la elasticidad, existen únicamente cuatro fuerzas fundamentales. Si se analizasen estas interacciones a nivel microscópico, se vería que se trata de fuerzas electromagnéticas (atracciones y repulsiones entre los protones y electrones de los átomos que constituyen cada uno de los objetos, por ejemplo, que impiden que penetren átomos del objeto adyacente) y otros fenómenos.

De aquí en adelante, se distinguirá entre fuerzas volumétricas y fuerzas de contacto. Se entenderá por fuerzas volumétricas aquellas cuyo alcance no tiene límites (como la fuerza gravitatoria, por ejemplo), mientras que se entenderá por fuerzas de contacto aquellas fuerzas que sólo actúan en los puntos de contracto entre dos objetos (de aquí en adelante, y aplicado al estudio de los fluidos, aquellas fuerzas aplicadas por el exterior al sistema sobre la frontera del sistema).

Tensor de esfuerzos o tensiones

Hojas, El Otoño, Caída De Follaje
Tensión superficial del agua

En este apartado no se va a entrar en detalles propios de la mecánica de medios continuos, y particularmente de la teoría de la elasticidad; sino que se van a exponer aquellos conceptos fundamentales para abordar el estudio de los fluidos.

Un esfuerzo (o una tensión) tiene unidades de fuerza por unidad de superficie (comparte unidades con la presión). No obstante, tiene un carácter tensorial. Es decir, en invariante con el sistema de coordenadas empleado. No obstante, el tensor de tensiones puede ser expresado en un determinado sistema de coordenadas, y la expresión que lo define es la misma.

Para entender esto, pensemos en un alimento. El alimento es invariante (es decir, el alimento es el que es, supongamos un aguacate). Sin embargo, al nombrar al alimento, dependerá de la región del mundo en la que se esté, que el aguacate tendrá un nombre u otro dependiendo del idioma empleado en esa región. En el caso del tensor de tensiones ocurre lo mismo. Es invariante, pero al expresarlo en un determinado sistema, tomará una forma u otra.

Comprendiendo las componentes del tensor de tensiones

Para no entrar en aspectos matemáticos, vamos a considerar que un tensor de tensiones siempre puede representarse mediante una matriz. En los términos de la diagonal, se expresarán los valores de los esfuerzos normales, mientras que el resto de términos serán los esfuerzos cortantes. En la siguiente expresión se muestra la forma general del tensor de esfuerzos.

\bar{\bar{S}}=\begin{pmatrix}\sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\\tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\\tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}\end{pmatrix}=-p\cdot \bar{\bar{I}} + \bar{\bar{\tau '}}

Al imponer el equilibrio de momentos en un cubo unidad se obtiene que el tensor ha de ser simétrico (es decir, los términos \tau_{ij}=\tau_{ji}). Por otra parte, el tensor puede expresarse como una suma de un tensor de presiones y un tensor de esfuerzos viscosos. No se entrará en el detalle de cómo calcular cada uno de ellos, pero la presión, p, está relacionada con los términos de la diagonal (es un tercio de la traza), mientras que el tensor de esfuerzos viscosos puede obtenerse sin más que despejar.

Fuerzas de contacto o superficiales

Finalmente, mencionar que al proyectar el tensor de esfuerzos sobre una determinada dirección (definida por un vector, \vec{n}), se obtiene un vector de esfuerzos, que puede entenderse como la fuerza (el vector fuerza) por unidad de superficie que actúa sobre dicha superficie.

Por ello, y considerando \vec{t} como el vector de fuerza por unidad de superficie que actúa sobre la frontera del sistema, y siendo \vec{n}, el vector normal (perpendicular) a dicha superficie, se tiene:

\vec{t}=\bar{\bar{S}}\cdot \vec{n} \; \; \; \; en \; \; \; \; \partial \Omega

donde \partial \Omega es la frontera del sistema.

Conclusiones

En resumen, se ha visto que las fuerzas que actúan sobre un sistema pueden ser consideradas como fuerzas volumétricas o fuerzas de contacto, aunque sólo existen cuatro fuerzas reales (o fundamentales) y cualquier fuerza de contacto es una idealización o modelización de una o un conjunto de estas fuerzas reales. Además, se han relacionado estas fuerzas de contacto con el tensor de esfuerzos proyectado sobre el vector normal a la superficie exterior del sistema, que a su vez se ha expresado como suma de dos tensores, uno de presiones y otro viscoso.

En el próximo artículo se aplicarán estos conceptos a un volumen de control de forma análoga a como se hizo en el capítulo anterior con la ecuación de continuidad. Os animo a seguir leyendo esta fascinante serie y a dejar vuestros comentarios y preguntas a continuación. ¡¡¡Hasta la próxima!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Estudio Ingeniería Aeroespacial en la Politécnica de Madrid. Me apasionan la física y las matemáticas, pero todo conocimiento es bienvenido, y en QS hay sitio para todos ellos.

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