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La importancia del principio de equivalencia.

Antecedentes.

Durante los últimos meses hemos recorrido juntos este apasionante mundo de la relatividad general. Hemos intentado acercarnos en primera aproximación a todas las ideas y conceptos, arduamente complejos, que engloba la teoría. Ya hablamos sobre ellos en capítulos anteriores de esta serie. Hoy probablemente traigamos el concepto más importante de todo este desarrollo. El principio de equivalencia, que el propio Einstein admitió que era «la mejor idea que había tenido en su vida», aparece como un puente entre la relatividad especial y la relatividad general, donde intentamos unir todos los aspectos del espacio cuatridimensional de Minkowski en una teoría que tenga en cuenta al campo gravitatorio y a observadores no inerciales.

Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria.

Una de las bases para entender esta idea que intentaremos mostrar reside, ni más ni menos, que en la propia mecánica newtoniana. En esta, aparecen dos términos claramente diferenciados: la masa inercial por un lado, y la masa gravitatoria por otro. Para hacernos una imagen sencilla de lo que es cada una, podríamos decir que la masa inercial es aquella que aparece de forma natural en la segunda ley de Newton. Por otro lado, la masa gravitatoria es aquella que aparece en la ley de Gravitación Universal de Newton. Ambas se muestran como una constante de proporcionalidad. En el primer caso, la masa tiene un significado ligado a la propia inercia del cuerpo, a la resistencia que este pone a cambiar su estado de movimiento. En el segundo caso, la masa es la que origina la fuerza gravitatoria, ya que esta es la que origina el campo gravitatorio. A pesar de su clara diferencia conceptual, la experiencia nos dice que ambas valen exactamente lo mismo.

El principio de equivalencia en campos homogéneos.

La idea de Einstein.

En este artículo nos centraremos en los campos homogéneos, donde el campo gravitatorio es aproximadamente constante, como puede suceder, por ejemplo, en la superficie de la Tierra. Después lo extenderemos a campos más generales. Einstein siempre intentó elaborar una teoría donde la gravedad tuviera cabida. Esta ilusión, se unió al hecho de que siempre le sorprendió el resultado que comentamos arriba, la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Para él, este resultado, guardaba una verdad mucho más profunda oculta en la naturaleza. Cuando la idea del principio de equivalencia vino a su cabeza, lo imaginó partiendo de un hecho, «a priori», bastante intuitivo: un observador en caída libre (está acelerado) no siente su propio peso. Esto implica que para sí mismo, podría pensar que en realidad se situaba en una región del espacio donde no había campo gravitatorio. De aquí se deduce el enunciado de este principio:

Un observador en caída libre en un campo gravitatorio (constante) es equivalente a un observador inercial en ausencia de gravedad.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

La gravedad, ¿una ilusión creada por nuestro sistema de coordenadas?

El principio de equivalencia que hemos mencionado admite también otro enunciado en el caso de aceleraciones constantes, este dice

Un observador en movimiento uniformemente acelerado es equivalente a un observador en un campo gravitatorio constante.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

Este principio puede encontrar un significado sencillo si hacemos uso de las ecuaciones básicas de cinemática que vimos en el instituto. Si recordamos la caída libre para una piedra se describía mediante la ecuación

\ddot{x}=-g,

pero si realizamos un cambio de coordenadas del tipo

y=x+\frac{1}{2}gt^{2},

nos damos cuenta de que la ecuación resultante es

\ddot{y}=0,

es decir, aquella ecuación que nos describe un cuerpo moviéndose de manera inercial, es decir, a velocidad constante. De esta forma lo que encontramos es que, realmente, la gravedad se puede interpretar como un artefacto que surge de la elección de nuestras coordenadas. En física, a este tipo de fuerzas se les llama fuerzas ficticias, como la fuerza de colioris. Hay que tener en cuenta que todo el rato nos hemos estado refiriendo a sistemas donde el campo gravitatorio es constante, en el caso general no será tan trivial, pero sí es importante que se tenga esta idea de lo que parece una ilusión en el caso de la fuerza gravitatoria.

El principio de equivalencia en campos inhomogéneos. Implicaciones.

El principio de equivalencia, una propiedad local.

En el caso general en el que el campo gravitatorio ya no se muestra constante, el principio de equivalencia admite una idea ligeramente distinta y sutil, empezamos a hablar de localidad. El enunciado del principio se muestra así:

Los observadores en caída libreen un campo gravitatorio general son localmente equivalentes a observadores inerciales.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

Ahora este principio adquiere una propiedad local, se cumple solo en ciertas regiones del espacio tiempo, donde las escalas son «pequeñas». Con pequeñas o locales nos referimos esencialmente a aquellas zonas del espacio-tiempo donde no se perciben los efectos de marea o de la precisión de los experimentos usados en nuestras medidas. Esto no es un argumento circular, no es un salvoconducto que nos lleva a un no puedo decir nada de donde no pueda hacer buenas mediciones . Esto conlleva un entendimiento mucho más profundo de la física detrás de la naturaleza del campo gravitatorio. Dos partículas con igual carga pero con distinta masa no tendrán la misma aceleración impulsada por un campo eléctrico

q\vec{E}=m\ddot{\vec{x}}

algo que no ocurre con el campo gravitatorio, donde dos partículas con distinta masa sí tendrán la misma aceleración, por la naturaleza de la equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria, de la que hablábamos en el primer apartado de este post:

m\vec{g}=m\ddot{\vec{x}}

Así, la aceleración gravitatoria es la misma para partículas con misma masa y nos muestra que el principio de equivalencia contiene a un nivel profundo mucha más física de la que podríamos esperar.

El principio de equivalencia en un contexto matemático.

Probablemente este es uno de los apartados más importantes que han seguido a esta serie. En este vamos a dar una visión general de lo que implica matemáticamente el principio de equivalencia y veremos la conexión que esto tiene con la parte de geometría diferencial expuesta en secciones anteriores. La conclusión fundamental que surge del principio de equivalencia es que en cualquier punto del espacio tiempo curvo tenemos una transformación de coordenadas que localmente nos hacen poder estar en un espacio de Minkowski. Se trata de un espacio-tiempo localmente plano, una propiedad que encaja perfectamente con la definición de variedad diferencial que dimos anteriormente. Así, llegamos a un hecho fundamental: El espacio-tiempo es una variedad diferencial lorentziana cuadrimensional cuya curvatura queda completamente determinada por la conexión de Levi-Civita. Las partículas libres en este espacio-tiempo cuadrimensional siguen las trayectorias de las geodésicas dadas en este. Debido a la inhomogeneidad del espacio-tiempo aparecen desviaciones entre estas trayectorias. Así es como surge la analogía entre la física de Einstein y la de Newton. Lo que para Newton es la ecuación de una partícula que afectada por una fuerza gravitatoria

\ddot{x}^{i}-\frac{F^{i}_{grav}}{m}=0,

para Einstein no es más que que la ecuación de una geodésica en un espacio curvo

\ddot{x}^{\mu}+\Gamma_{\nu\rho}^{\mu}\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\rho}=0,

donde la fuerza gravitatoria newtoniana no es más que una fuerza ficticia que surge de la elección de coordenadas del sistema. Así se llega a una implicación sorprendente: la gravedad es puramente geometría.

Bibliografía.

  • Apuntes de Relatividad General. Bert Janssen. Universidad de Granada.
  • Gravitación. D.D. Ivanenko, G.A Sardanashvili.
  • The Evolution of Physics. Albert Einstein, Leopoldo Infeld.
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Miguel Jimenez Ortega
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Graduado en física por la Universidad de Granada. Estudiante del máster de física teórica en la Universidad de Valencia. Apasionado de la física y de la divulgación de la ciencia.

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3 Respuestas

  1. Mi saludo cordial. Con respecto al “Principio de Equivalencia entre Aceleración y Fuerza de Gravedad” de la T.G.R. del cual se deduce el efecto relativista conocido por “Dilatación Gravitacional del Tiempo”, y teniendo en cuenta que también la MASA de los cuerpos tiene una variación relativista en función de su velocidad (o sea, que para un observador ubicado muy lejos de un reloj que se encuentra afectado por un campo gravitatorio además de observar un retraso del ritmo del reloj TAMBIEN debe notar que la MASA del propio reloj aumenta), entonces pregunto: por qué no se encuentra referencia en textos de física relativista sobre “la variación relativista gravitacional de la MASA de los cuerpos afectados por una fuerza de gravedad”? Atentamente, José

    • Buenas Jose Alberto, perdón por la tardanza en la respuesta, he estado bastante liado. Con respecto a tu pregunta, entiendo que puedan surgir dudas respecto a este tema, y de hecho no es una pregunta con una respuesta trivial. Aunque el fondo de la cuestión reside en una mala formulación de la masa cuando intentamos tratar las leyes de Newton en el ámbito relativista. El propio Einstein recomendó que la expresión m=m_{0}/sqrt(1-v^2/c^2) dejara de usarse. La masa (masa en reposo) es un invariante Lorentz, no cambia de un sistema de referencia a otro. Aquí te dejo un artículo de Bert Janssen que habla justamente de esto y creo que te servirá bastante en lo que preguntas https://www.ugr.es/~bjanssen/text/masarelativista.pdf muchas gracias por tu pregunta.

      • Miguel: Miguel: Mi saludo reiteardo y gracias por la gentileza de responder a mi consulta. Con respecto a su respuesta debo disculparme por el hecho de no haber sido lo suficientemente explicito y utilizar el enunciado “clasico” el cual hace referencia a la magnitud MASA (la cual, como bien usted me rectifica, “NO sufre realmente una variacion realtivista”), pues en realidad yo queria referirme a la variacion relativista de la ENERGIA de los cuerpos (ya sea en su version cinematica descrita en la Relatividad Especial, y por causa de la GRAVITACION derivado del efecto del Principio de Equivalencia de la T.G.R); entonces he reeleborado la consulta en forma de un experimento mental que en esta ocasión me parece que si deja bien explicito el contenido de mi consulta, el experimento es el siguiente: “como sabemos de la Relatividad Especial, si un cohete se desplaza con determianda velocidad con respecto a un observador en reposo el mismo nota que el ritmo de un reloj dentro del cohete es mas lento, nota tambien que la longitud del cohte se acorta, y que la ENERGIA (o Masa Relativista según la descripcion “popular”) es MAYOR. Si ahora el observador se encuentra muy alejado de la Tierra y de la Luna, este observador notara’, en base a la aplicación del Principio de Equivalencia de la T.G.R., que si el cohete descansa sobre la superficie de la Tierra el ritmo del Reloj del cohete sera’ mas lento, su longitud mas corta, su ENERGIA mayor que si el cohete reposa sobre la superficie de la Luna, ya que el Campo Gravitacional de la Tierra es MAYOR que el de la Luna”, SIN EMBARGO, “curiosamente” se encuentran en los textos especializados referencia a los efectos sobre las magnitudes fsicas Tiempo y Longitud, PERO, en ningun texto he podido encontrar una referencia a este efecto relativista-gravitacional sobre la ENERGIA de los cuerpos!! ¿Por qué tal omisión en los textos especializados?

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