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La importancia del principio de equivalencia.

Antecedentes.

Durante los últimos meses hemos recorrido juntos este apasionante mundo de la relatividad general. Hemos intentado acercarnos en primera aproximación a todas las ideas y conceptos, arduamente complejos, que engloba la teoría. Ya hablamos sobre ellos en capítulos anteriores de esta serie. Hoy probablemente traigamos el concepto más importante de todo este desarrollo. El principio de equivalencia, que el propio Einstein admitió que era “la mejor idea que había tenido en su vida”, aparece como un puente entre la relatividad especial y la relatividad general, donde intentamos unir todos los aspectos del espacio cuatridimensional de Minkowski en una teoría que tenga en cuenta al campo gravitatorio y a observadores no inerciales.

Equivalencia entre masa inercial y masa gravitatoria.

Una de las bases para entender esta idea que intentaremos mostrar reside, ni más ni menos, que en la propia mecánica newtoniana. En esta, aparecen dos términos claramente diferenciados: la masa inercial por un lado, y la masa gravitatoria por otro. Para hacernos una imagen sencilla de lo que es cada una, podríamos decir que la masa inercial es aquella que aparece de forma natural en la segunda ley de Newton. Por otro lado, la masa gravitatoria es aquella que aparece en la ley de Gravitación Universal de Newton. Ambas se muestran como una constante de proporcionalidad. En el primer caso, la masa tiene un significado ligado a la propia inercia del cuerpo, a la resistencia que este pone a cambiar su estado de movimiento. En el segundo caso, la masa es la que origina la fuerza gravitatoria, ya que esta es la que origina el campo gravitatorio. A pesar de su clara diferencia conceptual, la experiencia nos dice que ambas valen exactamente lo mismo.

El principio de equivalencia en campos homogéneos.

La idea de Einstein.

En este artículo nos centraremos en los campos homogéneos, donde el campo gravitatorio es aproximadamente constante, como puede suceder, por ejemplo, en la superficie de la Tierra. Después lo extenderemos a campos más generales. Einstein siempre intentó elaborar una teoría donde la gravedad tuviera cabida. Esta ilusión, se unió al hecho de que siempre le sorprendió el resultado que comentamos arriba, la equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Para él, este resultado, guardaba una verdad mucho más profunda oculta en la naturaleza. Cuando la idea del principio de equivalencia vino a su cabeza, lo imaginó partiendo de un hecho, “a priori”, bastante intuitivo: un observador en caída libre (está acelerado) no siente su propio peso. Esto implica que para sí mismo, podría pensar que en realidad se situaba en una región del espacio donde no había campo gravitatorio. De aquí se deduce el enunciado de este principio:

Un observador en caída libre en un campo gravitatorio (constante) es equivalente a un observador inercial en ausencia de gravedad.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

La gravedad, ¿una ilusión creada por nuestro sistema de coordenadas?

El principio de equivalencia que hemos mencionado admite también otro enunciado en el caso de aceleraciones constantes, este dice

Un observador en movimiento uniformemente acelerado es equivalente a un observador en un campo gravitatorio constante.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

Este principio puede encontrar un significado sencillo si hacemos uso de las ecuaciones básicas de cinemática que vimos en el instituto. Si recordamos la caída libre para una piedra se describía mediante la ecuación

\ddot{x}=-g,

pero si realizamos un cambio de coordenadas del tipo

y=x+\frac{1}{2}gt^{2},

nos damos cuenta de que la ecuación resultante es

\ddot{y}=0,

es decir, aquella ecuación que nos describe un cuerpo moviéndose de manera inercial, es decir, a velocidad constante. De esta forma lo que encontramos es que, realmente, la gravedad se puede interpretar como un artefacto que surge de la elección de nuestras coordenadas. En física, a este tipo de fuerzas se les llama fuerzas ficticias, como la fuerza de colioris. Hay que tener en cuenta que todo el rato nos hemos estado refiriendo a sistemas donde el campo gravitatorio es constante, en el caso general no será tan trivial, pero sí es importante que se tenga esta idea de lo que parece una ilusión en el caso de la fuerza gravitatoria.

El principio de equivalencia en campos inhomogéneos. Implicaciones.

El principio de equivalencia, una propiedad local.

En el caso general en el que el campo gravitatorio ya no se muestra constante, el principio de equivalencia admite una idea ligeramente distinta y sutil, empezamos a hablar de localidad. El enunciado del principio se muestra así:

Los observadores en caída libreen un campo gravitatorio general son localmente equivalentes a observadores inerciales.

Bert Janssen, Teoría General de la Relatividad, Universidad de Granada (España)

Ahora este principio adquiere una propiedad local, se cumple solo en ciertas regiones del espacio tiempo, donde las escalas son “pequeñas”. Con pequeñas o locales nos referimos esencialmente a aquellas zonas del espacio-tiempo donde no se perciben los efectos de marea o de la precisión de los experimentos usados en nuestras medidas. Esto no es un argumento circular, no es un salvoconducto que nos lleva a un no puedo decir nada de donde no pueda hacer buenas mediciones . Esto conlleva un entendimiento mucho más profundo de la física detrás de la naturaleza del campo gravitatorio. Dos partículas con igual carga pero con distinta masa no tendrán la misma aceleración impulsada por un campo eléctrico

q\vec{E}=m\ddot{\vec{x}}

algo que no ocurre con el campo gravitatorio, donde dos partículas con distinta masa sí tendrán la misma aceleración, por la naturaleza de la equivalencia de la masa inercial y la masa gravitatoria, de la que hablábamos en el primer apartado de este post:

m\vec{g}=m\ddot{\vec{x}}

Así, la aceleración gravitatoria es la misma para partículas con misma masa y nos muestra que el principio de equivalencia contiene a un nivel profundo mucha más física de la que podríamos esperar.

El principio de equivalencia en un contexto matemático.

Probablemente este es uno de los apartados más importantes que han seguido a esta serie. En este vamos a dar una visión general de lo que implica matemáticamente el principio de equivalencia y veremos la conexión que esto tiene con la parte de geometría diferencial expuesta en secciones anteriores. La conclusión fundamental que surge del principio de equivalencia es que en cualquier punto del espacio tiempo curvo tenemos una transformación de coordenadas que localmente nos hacen poder estar en un espacio de Minkowski. Se trata de un espacio-tiempo localmente plano, una propiedad que encaja perfectamente con la definición de variedad diferencial que dimos anteriormente. Así, llegamos a un hecho fundamental: El espacio-tiempo es una variedad diferencial lorentziana cuadrimensional cuya curvatura queda completamente determinada por la conexión de Levi-Civita. Las partículas libres en este espacio-tiempo cuadrimensional siguen las trayectorias de las geodésicas dadas en este. Debido a la inhomogeneidad del espacio-tiempo aparecen desviaciones entre estas trayectorias. Así es como surge la analogía entre la física de Einstein y la de Newton. Lo que para Newton es la ecuación de una partícula que afectada por una fuerza gravitatoria

\ddot{x}^{i}-\frac{F^{i}_{grav}}{m}=0,

para Einstein no es más que que la ecuación de una geodésica en un espacio curvo

\ddot{x}^{\mu}+\Gamma_{\nu\rho}^{\mu}\dot{x}^{\nu}\dot{x}^{\rho}=0,

donde la fuerza gravitatoria newtoniana no es más que una fuerza ficticia que surge de la elección de coordenadas del sistema. Así se llega a una implicación sorprendente: la gravedad es puramente geometría.

Bibliografía.

  • Apuntes de Relatividad General. Bert Janssen. Universidad de Granada.
  • Gravitación. D.D. Ivanenko, G.A Sardanashvili.
  • The Evolution of Physics. Albert Einstein, Leopoldo Infeld.

Miguel Jimenez Ortega

Estudiante de último curso de Física en la Universidad de Granada (UGR). Apasionado de la física y las matemáticas, trabajando por una divulgación científica clara e interesante.

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