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Introducción

En el anterior capítulo de la serie, se realizó un análisis de los términos que intervienen en la Segunda Ley de Newton, realizando una clasificación de las fuerzas, e introduciendo de forma somera el concepto de tensor de tensiones. En este capítulo, se extenderán estos conceptos para hallar las ecuaciones de cantidad de movimiento tanto en forma integral como en forma diferencial.

Términos de la ecuación

Inercia

Como ya se vio en el capítulo anterior, la Segunda Ley de Newton exige que la suma de fuerzas que actúan sobre un sistema es igual a la masa total del sistema multiplicada por el vector aceleración del centro de masas del sistema (es decir, la derivada de la cantidad de movimiento total del sistema), siempre y cuando la masa del sistema permanezca constante.

La cantidad de movimiento total de un volumen fluido es:

\int_{V_{f}}\rho (\vec{x},t) \vec{v}(\vec{x},t)dV

Donde la integral se extiende a todo el volumen de control, y se suponen conocidos los campos tanto de velocidad como de densidad (en caso de que ésta sea constante, puede sacarse fuera de la integral). Finalmente, su variación resulta ser:

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}}\rho (\vec{x},t) \vec{v}(\vec{x},t)dV

Fuerzas

Como ya se vio, las fuerzas que actúan sobre el sistema pueden clasificarse en: fuerzas de contacto (también denominadas fuerzas superficiales) y fuerzas de largo alcance (también conocidas como fuerzas volumétricas).

Fuerzas de largo alcance

Las fuerzas de largo alcance son fuerzas que se ejercen a distancia, sin necesidad de un contacto estrecho para ser ejercidas, y que afectan a todo el sistema de forma directa. Forman parte de estas fuerzas la gravitatoria y las de inercia. Para un sistema no inercial genérico, en el que se está analizando el volumen fluido, y del que se conoce la velocidad angular, \vec{\Omega }(t) respecto de un sistema inercial determinado, así como la aceleración de su origen, \vec{a}_{0}, la fuerza volumétrica por unidad de masa resulta ser:

\vec{f}_{m}=\vec{g}-\vec{a}_{0}-\vec{\Omega }\wedge (\vec{\Omega }\wedge \vec{x})-\frac{d\vec{\Omega }}{dt}\wedge \vec{x}-2\vec{\Omega }\wedge \vec{v}

Ha de entenderse que tanto \vec{x}, como \vec{v} son, respectivamente, distancias y velocidades de objetos medidos en el sistema no inercial, mientras que \vec{g} es el campo gravitatorio que mide este sistema (aunque en general dependerá de la posición, en la Tierra tiende a tomarse constante).

El resto de fuerzas que intervienen en la ecuación son, respectivamente y en orden de izquierda a derecha, la de arrastre, fuerza centrífuga, azimutal y la fuerza de Coriolis. Además, en aquellos casos en los que la fuerza total volumétrica sea conservativa (la gravitatoria, la de arrastre y la centrífuga siempre lo son), puede expresarse \vec{f}_{m}=-\triangledown U, donde U es el potencial del que deriva la fuerza, y \triangledown es el operador ‘nabla’.

Con todo lo dicho, puede escribirse la suma de fuerzas volumétricas que actúan sobre el volumen fluido como:

\int_{V_{f}}\rho (\vec{x},t) \vec{f}_{m}(\vec{x},t)dV

Fuerzas de contacto

Finalmente, las fuerzas de contacto son aquellas que están aplicadas sobre la superficie (o frontera) del sistema en cuestión. Al proyectar el tensor de esfuerzos (o de tensiones) sobre un versor normal en un punto a una superficie, se obtiene la fuerza por unidad de superficie que actúa sobre ese punto. Por ello, si se sumasen todos los vectores de fuerza por unidad de superficie aplicados sobre cada punto en toda la superficie el volumen fluido, se obtendría la fuerza de contacto total que actúa sobre el sistema, esto es:

\int_{S_{f}}\tau \cdot \vec{n}dS

En este caso, no se ha hablado sobre el modo de proyectar un tensor (si no se dice nada, se entenderá que el tensor es de orden 2, por lo que puede representarse en un sistema de referencia determinado mediante una matriz, y proyectar el tensor equivale a realizar un producto de una matriz por un vector columna).

Ecuación de cantidad de movimiento en forma integral

Teniendo en cuenta todo lo expuesto anteriormente, se llega a la formulación de la Segunda Ley de Newton para un volumen fluido:

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}}\rho (\vec{x},t) \vec{v}(\vec{x},t)dV=\int_{S_{f}}\tau \cdot \vec{n}dS + \int_{V_{f}}\rho (\vec{x},t) \vec{f}_{m}(\vec{x},t)dV

No obstante, de cara a otorgar una mayor generalidad a la ecuación, se hará uso del Teorema del Transporte de Reynolds, de modo que la ecuación sea aplicada a un volumen de control genérico y elegido de forma arbitraria (o mejor dicho, elegido del modo más conveniente posible). Aplicando dicho teorema, se obtiene la ecuación definitiva:

\frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)}\rho \vec{v}dV + \int_{S_{c}(t)}\rho \vec{v}(\vec{v}-\vec{v}_{c}) \cdot \vec{n}dS=\int_{S_{c}(t)}\tau \cdot \vec{n}dS + \int_{V_{c}(t)}\rho  \vec{f}_{m}dV

En esta expresión, los términos con subíndice _{c} hacen referencia al volumen de control, siendo V_{c}(t), S_{c}(t) y \vec{v}_{c} el volumen de control, la superficie que lo encierra y su velocidad, respectivamente. La velocidad sólo aparece en las integrales de superficie, por lo que hace referencia a la velocidad de sus superficies, en caso de que estas sean móviles en el sistema de referencia escogido.

Ecuación de cantidad de movimiento en forma diferencial

Finalmente, se expondrá la ecuación en forma diferencial. Para ello, se considerará un volumen de control fijo en el sistema considerado, con lo que dejará de haber dependencias con el tiempo y, además, la velocidad \vec{v}_{c}=0. Con ello, las ecuaciones quedan:

\int_{V_{c}}\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t}dV + \int_{S_{c}}\rho \vec{v}\vec{v} \cdot \vec{n}dS=\int_{S_{c}}\tau \cdot \vec{n}dS + \int_{V_{c}}\rho \vec{f}_{m}dV

Además, puede emplearse el Teorema de la Divergencia de Gauss para transformar las integrales de superficie en integrales volumétricas, obteniéndose:

\int_{V_{c}}\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t}dV + \int_{V_{c}}\triangledown \cdot(\rho \vec{v}\vec{v}) dV=\int_{V_{c}}\triangledown \cdot\tau dV + \int_{V_{c}}\rho \vec{f}_{m}dV

Al ser todas las integrales de volumen y estar extendidas al mismo recinto, pueden agruparse los integrandos, de modo que como ha de cumplirse la ecuación para cualquier volumen de control, es equivalente a que se cumpla la ecuación

\frac{\partial (\rho \vec{v})}{\partial t}+ \triangledown \cdot(\rho \vec{v}\vec{v}) =\triangledown \cdot\tau  + \rho \vec{f}_{m}

Existen diversas formas de esta ecuación, no obstante, haciendo uso de la ecuación de continuidad hallada anteriormente en la serie, se obtiene la forma más común de la ecuación:

\rho\frac{\partial (\vec{v})}{\partial t}+\rho \vec{v} \cdot \triangledown \vec{v} =\triangledown \cdot \tau + \rho \vec{f}_{m}

Conclusiones

Con las dos ecuaciones que se han presentado hasta el momento (continuidad y cantidad de movimiento) basta para resolver una gran cantidad de problemas desacoplados. Recordemos que la ecuación de cantidad de movimiento, al ser vectorial, son tres ecuaciones escalares, que sumadas a la de continuidad suman cuatro. Las incógnitas habituales son los campos de velocidades, de densidad y la energía. No obstante, si hay desacoplamiento entre las ecuaciones de energía y de cantidad de movimiento, con las cuatro ecuaciones que se tienen basta para aquellos casos en los que se conozca la densidad y se quieran conocer el campo de velocidad (tres incógnitas) y de presión (una incógnita más).

En los siguientes dos capítulos se hallará la ecuación de la energía, y se cerrará el formalismo matemático exponiendo la necesidad e importancia de condiciones iniciales y de contorno, así como de una ecuación de estado en algunos casos. Con todo ello ( condiciones iniciales y de contorno, ecuación de continuidad, de energía y las tres de cantidad de movimiento y una ecuación de estado) el problema estaría cerrado. No obstante, quedaría formular ciertas leyes empíricas, como la de Fourier que permitan relacionar el flujo de calor con el gradiente del campo de temperaturas, por ejemplo.

Espero que estéis disfrutando la serie tanto como yo, dejad comentarios con vuestras impresiones, dudas y cualquier sugerencia. También estaba pensando en hacer videos con problemas sencillos para completar la teoría cuando finalice la serie, si os gusta la idea dejadlo en los comentarios y, ¡¡¡hasta la próxima!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Estudio Ingeniería Aeroespacial en la Politécnica de Madrid. Me apasionan la física y las matemáticas, pero todo conocimiento es bienvenido, y en QS hay sitio para todos ellos.

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2 Respuestas

    • ¡¡¡Muchísimas gracias!!! Lo de los vídeos es una idea que estamos valorando a nivel interno. Espero pronto poder hacer una serie de vídeos cortos resolviendo problemas de Mecánica de Fluidos, desde problemas básicos de fluidoestática a cosas más complejas. Un saludo, y gracias por el comentario.

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