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Antecedentes a las ecuaciones de la gravedad.

Todo lo que hemos aprendido.

Durante los últimos meses hemos estado repasando los principales conceptos de la relatividad general de Einstein. Hemos hablado sobre el contexto histórico que la precede, las variedades diferenciales, la geometría diferencial y sobre el principio de equivalencia. Todos ellos nos han servido para tener una imagen global de qué es en realidad el espacio-tiempo y cómo podemos entender el campo y la fuerza gravitatoria. Ahora es el momento de deducir las ecuaciones originales de Einstein.

Interpretación física del tensor de energía-momento.

Un tensor que va a aparecer de manera natural en las ecuaciones de Einstein es el denominado tensor de energía-momento. Esto se debe a que hasta ahora hemos llegado a la conclusión de que la gravedad aparece como consecuencia de la curvatura del espacio-tiempo, pero no hemos hablado sobre qué produce esta curvatura. La fuente del campo gravitatorio no es más que la masa del objeto, que, a su vez, no es más que una de las manifestaciones de su energía (recuerda E=mc^{2}). Es por tanto que cuando trabajamos con magnitudes grandes, así sea sistemas de muchas partículas, campos, o, en general, un conjunto de materia, es usual tratar al sistema conjunto como un fluido. Dicho fluido contiene información sobre la densidad de energía en cada una de sus direcciones, así como puede también contener información sobre la presión, temperatura,… etc. El tensor que se encarga de describir estas características se le llama tensor de energía-momento.

Estructura matemática del tensor de energía-momento.

Una vez entendido más o menos de dónde surge la idea del tensor de energía-momento, vamos a ver cómo es su estructura matemática. En general se suele denotar como \mathcall{T}^{\nu\mu}. La definición física de este tensor suele estar apoyada en que lo que muestra es el flujo de los momentos p^{\mu} a través de una superficie x^{\mu}. Esto no es más que la generalización de un vector de corriente j^{\mu} como aparece por ejemplo en las ecuaciones de Maxwell. El ejemplo más sencillo de tensor de energía-momento es el que se denomina de materia fría, y que describe un conjunto de partículas que no interaccionan, este tiene la forma

\mathcall{T}^{\mu\nu}=\rho_{0}u^{\mu}u^{\nu},

donde u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}(\tau)}{d\tau} es la cuadrivelocidad de las partículas del fluido y \rho_{0} la densidad de materia vista por un observador comóvil. Como este se pueden encontrar otros ejemplos, como el tensor de energía-momento electromagnético. Hay muchos más, pero para lo que nos interesa en esta serie nos basta por ahora.

Las ecuaciones de Einstein.

Restricciones matemáticas y físicas para la deducción de las ecuaciones de Einstein.

Teniendo en cuenta que el tensor de energía-momento es aquel que nos da información sobre la energía (materia, presión, masa, …) que contiene un sistema y que, por tanto, puede ser la fuente que provoque la curvatura del espacio-tiempo, vamos a ver cómo dedujo Einstein inicialmente sus ecuaciones. Einstein asume, siguiendo el principio de covariancia, que la forma de la ecuación debe ser tal que

G_{\mu\nu}=-\kappa\mathcall{T}_{\mu\nu},

donde G_{\mu\nu} es un tensor que describe la curvatura del espacio-tiempo. Este tensor puede determinarse completamente sin más que imponer las siguientes restricciones deducidas de la teoría:

  1. G_{\mu\nu} debe ser simétrico en sus dos índices, puesto que \mathcall{T}_{\mu\nu} lo es.
  2. G_{\mu\nu} debe ser un objeto puramente geométrico, es decir, que solo va a depender de la métrica o sus derivadas.
  3. La ecuación del campo gravitatorio tiene que ser capaz de recuperar en algún límite la gravedad newtoniana, en su caso la ecuación de Poisson para el potencial gravitatorio. Esta ecuación, al ser de segundo orden, restringe a que G_{\mu\nu} puede contener, como mucho, derivadas segundas de la métrica. La forma más fácil de construir esto es haciendo uso de tensores de Riemann y sus contracciones.
  4. Para que la ecuación del campo gravitatorio sea una ecuación dinámica, tiene que ser una ecuación diferencial de segundo orden y de primer grado en la segunda derivada. Esto implica que G_{\mu\nu} es proporcional al tensor de Riemann.
  5. La conservación de la energía implica que la divergencia de \nabla_{\mu}G_{\mu\nu}=0.
  6. Una condición final usual suele ser pedir que el espacio de Minkowski sea una solución de las ecuaciones de Einstein en el límite donde no hay materia, es decir, \mathcall{T}_{\mu\nu}=0. Esto implica que G_{\mu\nu} se anule en el caso de una métrica plana. Aunque esta restricción no es tan fuerte.

Forma matemática del tensor G_{\mu\nu}.

Con todas las condiciones expuestas en el apartado anterior, la forma del tensor G_{\mu\nu} queda completamente definida. La forma más general de cumplir todas las restricciones es

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}+\alpha g_{\mu\nu}R+g_{\mu\nu}\Lambda(x),

donde \alpha es una constante, \Lambda(x) una función escalar y R es el denominado escalar de Ricci, que no es más que otra contracción, en este caso, del tensor de Ricci. Cuando exigimos que \nabla_{\mu}G^{\mu\nu}=0 implica que \alpha=-\frac{1}{2} y que \Lambda es una constante. Por otro lado, en particular, si exigimos que G_{\mu\nu}=0 cuando la métrica sea plana, obtenemos que \Lambda=0. Por lo tanto, la forma explícita del tensor de Einstein queda determinado de la forma

G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R,

teniendo en cuenta el límite newtoniano, que restringe el valor de \kappa, obtenemos finalmente las ecuaciones originales presentadas por Albert Einstein en 1915:

R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}g_{\mu\nu}R=-8\pi G_{N}\mathcall{T}_{\mu\nu}

donde G_{N} es la constante de gravitación universal de Newton.

Consecuencias de las ecuaciones de Einstein.

Como vemos el problema de la relatividad general queda reducido a la expresión expuesta arriba. Esta ecuación guarda en sí una información brutal. Se trata de un sistema de diez ecuaciones diferenciales parciales, no lineales y acopladas en segundo orden a la métrica g_{\mu\nu}. Esto hace que la resolución de esta ecuación sea realmente muy complicado. El propio Einstein era consciente de este hecho, y creía que nunca llegaría a encontrar una solución para sus ecuaciones. Para su sorpresa, al año siguiente se encontró la primera solución a sus ecuaciones, la solución de Schwarzschild, la más simple para una distribución de masa esféricamente simétrica. Entre otras cosas, esta solución es capaz de describir, en primera aproximación, objetos cosmológicos como el Sol o un mismísimo agujero negro.

Conclusiones y nota del autor.

Durante esta breve serie hemos hecho un repaso general sobre los principales conceptos de la relatividad general. Téngase en cuenta de que se han pasado por alto muchas características sutiles, detalles y formulaciones matemáticas para no extender en excesivas complicaciones dicha serie. Se ha intentado encontrar el equilibrio entre el formalismo correcto de la teoría y la explicación cualitativa de las ideas más complicadas. En muchos libros, entre otros de los que se han mencionado en esta bibliografía, se ahonda en estos temas de una manera mucho más profunda. Para cualquier consulta, estaré dispuesto a responder preguntas e incluso debatir sobre ciertos temas para todo aquel que quiera. Espero hayan disfrutado de este viaje tanto como yo.

Bibliografía

  • Apuntes de Relatividad General. Bert Janssen. Universidad de Granada.
  • Gravitación. D.D. Ivanenko, G.A Sardanashvili.
  • The Evolution of Physics. Albert Einstein, Leopoldo Infeld.
  • El tejido del cosmos. Brian Green.

Miguel Jimenez Ortega

Estudiante de último curso de Física en la Universidad de Granada (UGR). Apasionado de la física y las matemáticas, trabajando por una divulgación científica clara e interesante.

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