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Como calcular la distancia Tierra-Marte con 3 datos.

Introducción

Hace 450 años nació el astrónomo, físico y matemático Johannes Kepler. El cual, gracias a las observaciones de Tycho Brahe, definió 3 leyes que dieron las bases de la mecánica orbital.
Si algún día deseas ir a Marte de vacaciones en la Starship gastando unos pocos dólares, de seguro querrás saber que tan lejos está. En este artículo aprenderás cómo sacar la distancia promedio sin tener que hacer una regla de proporciones titánicas.

Las 3 Leyes de Kepler:

Para pasar a las 3 leyes primero debes saber que una elipse, matemáticamente, se describe de la siguiente manera:

\frac{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}=1

O en su forma expandida:

b^2x^2+a^2y^2-2b^2x_0 x-2a^2y_0 y+a^2y_0 ^2-a^2b^2=0

Si empiezas a sentirte incómodo/a al ver esta ecuación, significa que tu sistema natural de supervivencia funciona. Pero no te preocupes, en este articulo no haremos uso de ella. Lo que quieren decir estas fórmulas es que tienes dos puntos, los cuales se llaman, focos. Todos aquellos puntos que estén a una distancia “x” de un foco, y a una distancia “z” del otro, donde la suma de “x” y “z” da 2a, se los considera parte de la elipse.

Partes de una elipse.
Figura 1: Partes de una elipse. Fuente: Elaboración propia.

Con las partes de la elipse, y mediante pasos algebraicos se pueden extraer una fórmula para calcular la excentricidad de la elipse, esta nos dice que tan parecido es nuestro gráfico a un circulo, o a una línea. La fórmula se escribe:

e=\frac{c}{a}

Listo, con este planteo podemos comenzar con las 3 leyes de Kepler:

1ra Ley

Los planetas orbitan en elipses, y el Sol, se ubica en uno de sus focos. El punto mas alejado de la órbita se llama afelio y el mas cercano es el perihelio. Los términos afelio y perihelio son usados cuando hay un cuerpo celeste orbitando al Sol, en caso de la Luna que orbita a la Tierra se denomina apogeo y perigeo, y de manera genérica se expresa como apoapsis y periapsis.

2da Ley

Los planetas en su trayectoria alrededor del Sol, recorren áreas iguales en tiempos iguales. Esto se puede escribir como:

{ V_{afelio} \: r_{afelio}=V_{perihelio} \: r_{perihelio}}

Si miras con atención puedes notar que el r_{afelio}(r_a)>r_{perihelio}(r_p) entonces para que la igualdad se mantenga la velocidad en el perihelio aumenta y en el afelio disminuye quedando: V_a<V_p.

En otras palabras, mientras los planetas se acercan al Sol dentro de su órbita, aceleran, y cuando se alejan, deceleran. Esto posteriormente fue demostrado por Newton con su Ley de Gravitación Universal.

3ra Ley

“El cuadrado de los periodos orbitales es directamente proporcional al cubo del semieje mayor.”

\frac{T^2}{a^3}=k

Sé que en un principio el enunciado parece chino básico pero es más fácil de lo que aparenta. El periodo orbital (T) es la cantidad de tiempo que un planeta tarda en dar una vuelta al Sol, en el caso de la Tierra son 365 días. El semieje mayor (a) es el resultado de hacer el promedio entre el afelio y el perihelio. Por último, la constante (k) indica una relación entre los 2 datos mencionados anteriormente, la cual es idéntica para los cuerpos celestes que orbiten al Sol.

k=2,976\cdot 10^{-19}\frac{s^2}{m^3}

Ahora sí, al grano

¿Qué tan lejos está Marte?

Para empezar vamos a presentar los datos que sí conocemos:

Periodo orbital de Marte: 684,23 días terrestres.

Excentricidad de la orbita Marciana: 0,093315

Para poder calcular la distancia que nos interesa vamos a ocupar la tercera ley de Kepler, la cual, habla de una relación entre el periodo orbital y el semieje mayor, que es constante para los cuerpos celestes que orbitan al Sol. Si empezamos a comparar nuestros datos con esta ley, tenemos 2 cuerpos celestes que orbitan al Sol: Marte y la Tierra, la constante de Kepler y los periodos orbitales. Tal que podemos desarrollar:

\frac{(684,23dias)^2}{a^3}=2,976\cdot 10^{-19}\frac{s^2}{m^3}

Aquí tenemos un pequeño problema, y es que utilizar días como unidad de referencia es muy poco recomendable, ya que en diferentes planetas la duración de los días es muy variable. En la Tierra un día puede llegar a durar desde 24 hs como en la mayor parte de las ciudades, hasta 6 meses, en caso de estar muy cerca del polo norte o sur.

Para evitar complicaciones vamos a pasar de días a segundos que es parte del sistema internacional de unidades, para eso usaremos algo que en física se denomina fracción unitaria, la cual nos ayuda en el pasaje de unidades:

684,23dias \cdot \frac{24h}{1dia}\cdot \frac{60min}{1h}\cdot \frac{60 s}{1min}=59\:117\:472 s

Para evitar tener que escribir ese número de 8 cifras en el desarrollo matemático, simplemente lo llamaremos T_M. Si despejamos el semieje mayor de la fórmula nos queda:

\sqrt[3]{\frac{T_M^2}{k}}=a

Al hacer el cálculo directo nos queda aproximadamente 227 300 082 805 metros, ¿y ya está? ¿hacemos lo mismo para la Tierra, luego tomamos la diferencia de distancias y listo?. Lamentablemente querido lector aquí nuevamente se nos presenta un detalle, y es que el semieje mayor es la distancia desde el centro de la órbita hasta el planeta, no desde el Sol hasta el planeta, ¿Qué implica esto?

Esto implica que la orbita de Marte y de la Tierra no son iguales, por lo que al momento de hacer la diferencia nos quedaría un grado de error en la medición de unos poco millones de kilómetros, esto en un viaje interplanetario significaría la pérdida de vidas y millones de dólares, lo cual es un final poco feliz para la meta que se planteó, la cual es ir de vacaciones a otro planeta, por lo que vamos a intentar minimizar ese error.

Para esto vamos a calcular la distancia Marte-Sol durante el afelio.

Gráfico de la orbita de marte.
Figura 2: Representación no escalada de la orbita de Marte. Fuente: Elaboracíon propia.

Como podemos observar en el gráfico de arriba la distancia del Sol al afelio de la órbita de Marte se puede describir como la distancia del semieje mayor mas la distancia focal, la cual es la distancia del centro de la elipse hasta uno de los focos. Pero… ¿cómo sacamos “c”?

Si repasamos lo visto anteriormente podemos calcular esta distancia mediante la excentricidad, la cual se definía como e=\frac{c}{a}

Si empezamos a operar algebraicamente nos queda que:

A_P=a+c

A_P=a+e \cdot a

Sacando factor común:

A_P=a \cdot (1+e)

Si hacemos cálculo directo nos queda aproximadamente 248 510 000 000 metros, que comparando a los primeros 227 300 082 805 metros que calculamos encontramos un margen de error de 21 000 000 000 metros casi el 10%.

Ahora si hacemos lo mismo para la Tierra nos queda que en el afelio tiene una distancia de 152 099 000 000 metros, por lo cual ya está tenemos una distancia aproximada de los planetas cuando están en el afelio, la cual es de 96 411 000 Km.

A volar se ha dicho…

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Figura 3: Imagen generada por computadora de la nave Starship. Fuente: Australia’s Science Channel.

DETALLES:

Si bien hicimos un intento de aumentar la precisión de la medición lo más posible, resulta que aun así hay un gran margen de error al redondear números, y también cabe destacar que las órbitas de Marte y la Tierra no son iguales por lo cual en algunas partes habrá una distancia menor a la de los afelios.

Figura 4: Representación a escala de las orbitas de Marte y la Tierra. Fuente: Elaboración propia.

Como se ve en la grafica los segmentos “g” y “f” representan las distancias en los afelios y perihelios respectivamente, donde el segmento “g” mide 0,65 UA (nota: una UA, o Unidad Astronómica, equivale a la distancia media entre la Tierra y el Sol, que son aproximadamente 150 000 000 Km) coincidiendo con los cálculos que realizamos. Pero el segmento “f” es menor al “g”, ¿Cuánto mide? Esta pregunta se la dejaré al lector para que pueda poner en práctica lo visto anteriormente, sabiendo que la Tierra en el perihelio está a 0,98 UA del Sol.

CONCLUSIONES:

La mecánica orbital en los tiempos actuales se está volviendo cada vez más presente en la vida cotidiana de las personas. Hay lanzamientos espaciales todas las semanas, realizados por varias agencias espaciales, incluyendo a Space X que prácticamente se convirtió en sinónimo de vanguardia espacial, como asimismo su competencia Blue Origin que también está cobrando fama a nivel mundial. Otros casos en los que se puede observar la presencia de esta disciplina son por ejemplo el cohete chino que llevaba parte de su nueva estación espacial y terminó cayendo en la Tierra, los satélites de GPS, las misiones a Marte, o a la Luna. Todo eso que mencioné anteriormente en gran parte se basa en las leyes de Kepler y las de Newton.

En este primer articulo de la serie de mecánica orbital empezamos con algo sencillo, pero podría ser más complejo como ¿habría alguna forma de calcular la masa de la Tierra sabiendo que la Luna gira a su alrededor cada 27 días? Lo veremos próximamente… Gracias por leerme.

BIBLIOGRAFIA

Planetary Fact Sheet – Metric | https://www.nssdc.gsfc.nasa.gov/planetary/factsheet/

Si deseas saber como lo hizo Kepler sin saber excentricidades de las orbitas te dejo este articulo de la Revista Colombiana de Física

http://fisica.udea.edu.co/rcf/ojs/index.php/rcf/article/download/440301/417

μuon
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