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agosto 21, 2021

Tiempo de lectura: 7 minutos

El otro día, durante un breve descanso en el balcón de mi casa, me quedé anonadado por la puesta de Sol que ante mí estaba teniendo lugar. Los rayos de nuestra querida estrella se veían dispersados por la atmósfera y dibujaban un bonito paisaje que era digno de ver. En ese momento, me acordé de lo importante que era y había sido la teoría electromagnética en el desarrollo de la historia humana. Todo el formalismo de esta teoría quedaba resumida en cuatro bellas ecuaciones. Hoy vamos a intentar arrojar luz sobre este tema que, aún siendo extremadamente importante, nunca se llega a saber realmente en qué consiste. Hoy hablamos sobre las ecuaciones de Maxwell.

James Clerk Maxwell, una breve instoducción sobre el padre del electromagnetismo.

Maxwell en su infancia y durante la universidad.

El pequeño Maxwell nació en Edimburgo, un 13 de junio de 1831. No tuvo una infancia fácil, perdió a su madre a los 8 años de edad [2] . En el colegio no fue aceptado durante mucho tiempo y sufrió de un severo aislamiento social. Esta soledad acabó cuando conoció a los que serían sus amigos de por vida, Lewis Campbell y Peter Guthrie Tait. Pasada su etapa de estudios inciales, donde asistió a la Academia de Edimburgo, pasó a entrar en sus años universitarios. Comenzó sus estudios en la prestigiosa universidad de Cambridge, para acabar completándolos en la de Edimburgo.

Tómese la vida más tranquila, Sr Maxwell.

Resulta que el joven escocés no quería perder el tiempo. Desde bien joven destacó por su curiosidad y sus capacidades lógicas y matemáticas. A los 18 años publicó sus primeros dos trabajos en la Royal Society de Edimburgo [1] . Si nuestro lector resulta ser una persona joven, no se eche las manos a la cabeza. Tiene que tener en cuenta que Maxwell fue uno de esos científicos que aparecen una vez (si hay suerte) cada siglo. Tras acabar sus estudios y, sobreponiéndose a la también prematura muerte de su padre, acabó ejerciendo como profesor de Filosofía Natural en el Marischal College de Aberdeen en 1856. A partir de aquí, vendrían los años más fructíferos de su carrera. En 1858 se casó con Katherine Mary Dewar y, a los dos años, aceptó una plaza como profesor en el King’s College de Londres.

Las ecuaciones de Maxwell, una aventura matemática.

Una vez que hemos repasado brevemente algunos aspectos de su vida hasta su llegada a la universidad, vamos a adentrarnos en lo que realmente nos interesa en este artículo. Vamos a hablar de las ecuaciones que llevan su nombre y que constituyen las bases del electromagnetismo clásico. En este artículo nos centraremos en las ecuaciones de vacío, que facilitan mucho más su comprensión.

Parándonos brevemente en el concepto de campo.

Antes de introducir formalmente las ecuaciones de Maxwell, debemos incidir en entender el concepto de campo. Un campo es una función que dota de una característica (si es escalar un número, si es vectorial, un vector) concreta a cada punto del espacio. Esto es un concepto que rompió con la forma de pensar de la época, muy influenciada por la dinámica newtoniana. Ahora las fuerzas surgen como manifestación del campo que crea una fuente de este. En el caso electromagnético, una de las fuentes puede ser una carga. El concepto de fuente es también bastante interesante y lo entenderemos completamente cuando veamos las ecuaciones una a una.

Las ecuaciones de Maxwell.

Sin más dilación, vamos a mostrar finalmente las ecuaciones originales que se le atribuyen a J. Clerk Maxwell. Estas ecuaciones en el vacío se muestran como:

$\nabla\cdot\vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon_{0}}$

$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$

$\nabla\cdot\vec{B}=0$

$\nabla\times\vec{B}=\mu_{0}\vec{J}+\mu_{0}\epsilon_{0}\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$

Es muy importante entender que estas cuatro ecuaciones, en el fondo, solo nos están hablando de las fuentes de los dos campos, del campo eléctrico $\vec{E}$ y del campo magnético $\vec{B}$ . Estas fuentes se obtienen a partir de las operaciones matemáticas del rotacional $\nabla\times\vec{U}$ y de la divergencia $\nabla\cdot\vec{U}$ , indicando las fuentes vectoriales y escalares de un campo genérico $\vec{U}$ .

Las ecuaciones de Maxwell, interpretación física.

Primera y segunda ecuaciones de Maxwell, las fuentes del campo eléctrico.

Las primeras dos ecuaciones nos hablan de las fuentes del campo eléctrico. Cuando hablamos de fuentes, debemos entenderlo como aquello que genera el campo que estamos considerando. En este caso, estas dos ecuaciones hacen referencia a las fuentes escalares y a las fuentes vectoriales. Vemos entonces que las fuentes escalares del campo eléctrico son las densidades de carga, o si lo preferimos, las cargas que hay en cierta región del espacio. Lo que nos dice la primera ecuación es que, cuando estamos en la presencia de una carga (positiva), se crean líneas de campo que salen de esta. Con las cargas negativas ocurre lo contrario, en estas entra el campo eléctrico. Un ejemplo esquemático de las fuentes escalares del campo eléctrico se puede observar en la figura 1. Las cargas positivas se comportan como fuentes y las cargas negativas como sumideros [3]. En el caso de la segunda ecuación, nos dice geométricamente cuánto gira el campo en torno a un punto. En el vacío, esta parte vectorial del campo eléctrico es generada por la variación temporal del campo magnético, lo que usualmente se conoce como ecuación de inducción de Faraday.

File:Lineas campo eléctrico.gif - Wikimedia Commons — Figura 1. Se muestran las líneas de campo que generan las distribuciones de carga positivas (izquierda) y negativas (derecha). Esta imagen tiene una licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International.

Segunda y tercera ecuaciones de Maxwell, las fuentes del campo magnético.

Habiendo entendido más o menos la idea de las fuentes escalares y vectoriales de los campos, este apartado ya puede ser entendido más rápidamente. Las fuentes escalares del campo magnético son…ninguna. ¿Qué sorpresa, no? Pues sí, a día de hoy no tenemos aún evidencia experimental de que las fuentes escalares del campo magnético sean distintas de cero. Como consecuencia de esto se tiene que no existen monopolos magnéticos en la naturaleza. Aunque de eso si queréis hablamos otro día. Por otro lado, las fuentes vectoriales del campo magnético son las corrientes $\vec{J}$ que aparecen en cierta región del espacio. Es decir, las cargas en movimiento. Un ejemplo de las líneas de campo generadas por un imán se puede ver en la figura 2. Otra fuente del campo magnético es la variación temporal del campo eléctrico. Este último término, además, es de relativa importancia, puesto que sin él no se cumplía la ecuación de continuidad de la carga [3].

Figura 2. Se muestran las líneas del campo magnético. Si se da cuenta el lector, puede entender por qué no tiene fuentes escalares este campo, en términos de la ley de Gauss, las líneas de este campo son cerradas y nunca cortan netamente a una superficie dando un flujo neto distinto de cero. Esta imagen tiene una licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0 International.

Conclusiones.

Las ecuaciones de Maxwell fueron uno de los grandes hitos en la historia de la ciencia. Por primera vez se utilizaba de manera afianzada el concepto de campo lo que marcaría el inicio del posterior desarrollo que nos llevó a la conocimiento científico actual. Hoy en día todos los dispositivos electrónicos, incluso mediante el cual usted está leyendo este artículo, funcionan con las bases de estas cuatro ecuaciones. Muchos aspectos físicos y matemáticos pueden obtenerse del entendimiento de lo que el joven Maxwell ideó en su día. En este artículo no se tuvo en cuenta, pero estas ecuaciones admiten una forma covariante. También puede cuantizarse la teoría y se pueden explicar las interacciones electromagnéticas mediante lo que se llama QED (Quantum Electrodynamics). Todo esto, si el tiempo y la experiencia nos lo permite, lo intentaremos ir desarrollando en próximos artículos. Confiemos en que Maxwell podría estar orgulloso de todo lo que hemos aprendido.

Referencias

https://es.wikipedia.org/wiki/James_Clerk_Maxwell
https://www.biografiasyvidas.com/biografia/m/maxwell.htm
Introduction to Electrodynamics. 4th Edition. David J. Griffiths

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Miguel Jimenez Ortega

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Graduado en Física por la Universidad de Granada, máster en física teórica en la Universidad de Valencia. Amante de la divulgación científica.

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Entendiendo las ecuaciones de Maxwell.