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Introducción a la ecuación de la energía

Hasta ahora se tienen un total de cuatro ecuaciones (ver artículos anteriores): una de continuidad y tres de cantidad de movimiento (ya que se trata de una ecuación vectorial). En este artículo hallaremos la ecuación de la energía, una quinta ecuación que, junto con las ecuaciones de estado oportunas y las condiciones iniciales y de contorno, cierra el problema a nivel matemático.

Términos de la ecuación

La ecuación que se busca es en realidad el Primer Principio de la Termodinámica aplicado a un volumen fluido que, al igual que ocurría con las ecuaciones halladas en los anteriores artículos, se trata de una Ley de Conservación dentro de la física clásica.

No obstante, si bien en el caso de la conservación de la masa las teorías modernas proponen una equivalencia entre masa y energía (la masa no se conserva ya que puede transformarse en energía, como sucede en las centrales nucleares, ver este artículo); o en el caso de las Leyes de Newton, se ha visto que en casos extremos no se cumplen, las leyes de la Termodinámica siguen gozando de una aceptación total a día de hoy.

Antes de enunciar las ecuaciones matemáticas y aplicarle las herramientas matemáticas necesarias para obtener las ecuaciones que se buscan, analicemos los elementos que intervienen, y cómo se expresa su valor para un volumen fluido.

Trabajos (o potencias)

Motor A Reacción, Chorro, Avión, Motor
Motor a reacción

Cuando una fuerza que actúa sobre un punto consigue desplazarlo una determinada distancia se dice que ha producido un trabajo. No obstante, la fuerza no necesariamente tiene que favorecer el movimiento del punto en el sentido en el que se mueve. Por ejemplo, las fuerzas de rozamiento, que tienen carácter disipativo, cuando actúan sobre un punto, habitualmente el punto ya se estaba moviendo y actúan en el sentido contrario al vector velocidad del punto. Es decir, tratan de frenar al punto en su movimiento.

En cualquier caso, al ser la fuerza un vector y el desplazamiento otro vector, el producto escalar de ambos será positivo o negativo dependiendo de si el ángulo que forman ambos vectores es menor que 90º (positivo, la fuerza favorece el movimiento) o mayor que 90º (negativo, la fuerza va en contra del movimiento).

Lo que se ha descrito sirve para un punto (es decir, una partícula). En caso de querer aplicar estos conceptos a un sistema continuo (un sólido o un fluido), habría que integrar las fuerzas volumétricas (en todo el volumen del sistema considerado) y superficiales (en toda la superficie exterior del sistema considerado) en el sistema. De este modo surgen las dos expresiones que se verán a continuación.

Trabajo de las fuerzas másicas o volumétricas

En el caso de las fuerzas volumétricas (recordemos que estas fuerzas eran fuerzas de inercia y fuerzas generadas por campos, en general), el trabajo realizado por las mismas resulta ser (en verdad es trabajo por unidad de tiempo, es decir, potencia):

\dot{W_{\vec{f_{m}}}}=\int_{V_{f}}^{}\rho \vec{f_{m}}\cdot \vec{v}dV

Trabajo de las fuerzas de contacto o superficiales

Estas fuerzas recordemos que surgen del contacto entre diferentes sistemas y, si bien su naturaleza se explica con alguna de las fuerzas fundamentales de la naturaleza, se suelen emplear modelos para describirlas. En cualquier caso, en general puede expresarse su valor en función del tensor de esfuerzos (la suma del tensor de esfuerzos viscosos y el tensor de presiones, es decir, \tau=-pI + \tau ', donde I es la representación matricial de la delta de Kronecker, es decir, la matriz identidad).

Con lo dicho, el trabajo (por unidad de tiempo) de las fuerzas superficiales resulta ser (donde \vec{n} es el vector normal y saliente de la superficie):

\dot{W_{\vec{f_{s}}}}=\int_{S_{f}}^{}\vec{n}\cdot \tau \cdot \vec{v}dS

Calores por unidad de tiempo

Fuego, Incendio, Combustión, Calor
Llama de un fuego

En el caso de los calores, ocurre lo mismo que con los trabajos, en general habrá calores aportados al sistema a través de la superficie que lo delimita, y calores generados en el interior. Existen en general tres formas de transferencia de calor: conducción, convección y radiación. De estos tres, el término convectivo aparece de forma natural de las ecuaciones al aplicar el Teorema del Transporte de Reynolds, como se verá más adelante.

Calor por conducción

La conducción ocurre fundamentalmente en la frontera del sistema (la superficie que lo delimita), y siendo \vec{q} el vector flujo de calor, el calor por unidad de tiempo aportado al sistema mediante conducción puede expresarse como (el signo negativo se debe a que sin el signo expresa el calor que sale del sistema, por lo que se le cambia el signo para obtener el calor que se el aporta al sistema):

\dot{Q_{conduccion}}=-\int_{S_{f}}^{}\vec{q}\cdot \vec{n}dS

Calor por radiación y reacción

Por otra parte, una fuente externa que radia calor, comunica una cantidad de calor por unidad de volumen, Q_{r}. Además, puede considerarse la posibilidad de que ocurran reacciones químicas en el interior del sistema que desprendan una cantidad de calor, Q_{q}. LLamando Q=Q_{r}+Q_{q}, el calor total aportado por unidad de tiempo al sistema por estos medios resulta ser:

\dot{Q_{radiacion}}=\int_{V_{f}}^{}QdV

Energías: Interna y cinética

Turbina Eólica, Viento, Energía
Aerogeneradores

Finalmente, las energías se dan por unidad de masa, por lo que basta con integrarlas a todo el sistema. La energía total del sistema será la suma de su energía interna, e, debida a la temperatura del sistema, más la energía cinética, \frac{1}{2}v^{2}. Así pues, la energía total del sistema resulta ser:

E_{t}=U+E_{c}=\int_{V_{f}}^{}\rho (e+\frac{1}{2}v^{2})dV

Principio de conservación de la energía en forma integral

Una vez analizados los términos que intervienen en la ecuación, ha de recordarse que el Primer Principio de la Termodinámica establece que:

\Delta (U+E_{c})=W + Q

Es decir, la variación de la energía total de un sistema, que es la suma de su energía cinética (E_{c}, debida al movimiento del mismo) más su energía interna (U, debida a la temperatura, es decir, al movimiento microscópico de las partículas que lo constituyen); es igual a la suma de trabajos y calores comunicados al sistema.

Ha de decirse que existen formulaciones alternativas, donde se supone que las fuerzas másicas derivan todas de un potencial y se incluyen como energía potencial en el lado izquierdo de la igualdad. Siguiendo con la expresión propuesta, puede expresarse por unidad de tiempo como:

\frac{d}{dt}(U+E_{c})=\dot{W}+\dot{Q}

En esta expresión, los términos de la derecha son trabajos y calores por unidad de tiempo (que es lo que teníamos en las expresiones integrales al volumen de control de arriba).

Ahora bien, sin más que acuñar los términos que se han ido presentando en una expresión análoga a la anterior, se obtiene:

\frac{d}{dt}\int_{V_{f}}^{}\rho (e+\frac{1}{2}v^{2})dV = \int_{V_{f}}^{}\rho \vec{f_{m}}\cdot \vec{v}dV + \int_{S_{f}}^{}\vec{n}\cdot \tau \cdot \vec{v}dS - \int_{S_{f}}^{}\vec{q}\cdot \vec{n}dS + \int_{V_{f}}^{}QdV

Finalmente, puede aplicarse el Teorema del Transporte de Reynolds para aplicar la expresión anterior a un volumen de control, V_{c}(t), genérico, obteniéndose:

\frac{d}{dt}\int_{V_{c}(t)}^{}\rho (e+\frac{1}{2}v^{2})dV +  \int_{S_{c}(t)}^{}\rho (e+\frac{1}{2}v^{2})(\vec{v}-\vec{v_{c}}) \cdot \vec{n}dS= \\ \int_{V_{c}(t)}^{}\rho \vec{f_{m}}\cdot \vec{v}dV + \int_{S_{c}(t)}^{}\vec{n}\cdot \tau \cdot \vec{v}dS - \int_{S_{c}(t)}^{}\vec{q}\cdot \vec{n}dS + \int_{V_{c}(t)}^{}QdV

Principio de conservación de la energía en forma diferencial

Por último, para hallar la ecuación diferencial, que es el equivalente de aplicar la ecuación anterior a una partícula fluida (es decir, haciendo coincidir el volumen de control con una partícula fluida), se considera un volumen de control fijo (\vec{v_{c}}=\vec{0}) y se aplica el Teorema de Gauss, y se obtiene:

\frac{\partial}{\partial t} \left [ \rho (e+\frac{1}{2}v^{2}) \right ] + \triangledown \cdot \left [ \rho (e+\frac{1}{2}v^{2})\vec{v} \right ]= \rho \vec{f_{m}}\cdot \vec{v} + \triangledown \cdot (\tau \cdot \vec{v}) -\triangledown \cdot \vec{q} + Q

Conclusiones

Con los contenidos expuestos en este artículo, y añadiendo el Segundo Principio de la Termodinámica (en verdad basta con asegurar que se cumpla, no se precisa incluir una ecuación particular para dicho principio) se tienen todas las ecuaciones que rigen el movimiento de los fluidos.

No obstante, puede apreciarse sin dificultad que existen varios términos desconocidos. Entre ellos, puede pensarse en \tau (o mejor, en la naturaleza de \tau ' y el campo de presiones, p(\vec{x}) y en \vec{q}. En el próximo y último artículo veremos cómo se pueden relacionar con el campo de velocidades (\tau '), con el campo de densidades y con el campo de temperaturas (\vec{q}), respectivamente.

De lograr expresar todo en función de \vec{v(\vec{x})}, \rho (\vec{x}) y T (\vec{x}), se tiene un problema con cinco ecuaciones y cinco incógnitas (recordar que la velocidad al ser un vector son tres incógnitas). Para ello, hace falta hacer uso de la Termodinámica para relacionar, por ejemplo, la energía interna, e, con la temperatura, T.

¡¡¡Nos vemos en el próximo y último capítulo de esta serie introductoria a la Mecánica de Fluidos!!!

Autor

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Madrid

Bibliografía:

  • Liñán, A., Rodríguez, M., & Higuera, F. (2019). Apuntes de mecánica de fluidos (1st ed.). Madrid: Publicaciones ETSIAE.
  • [Imágenes]: https://pixabay.com/es/

Carlos Carbajosa Fernández

Estudiante de Ingeniería Aeroespacial (UPM)

Estudio Ingeniería Aeroespacial en la Politécnica de Madrid. Me apasionan la física y las matemáticas, pero todo conocimiento es bienvenido, y en QS hay sitio para todos ellos.

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