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INTRODUCCIÓN

Hoy en día es casi imposible mencionar a Newton y encontrarse a alguien que desconozca su existencia. Fueron tales sus obras, que marcaron un antes y un después para la ciencia, la matemática y también para la sociedad en la Tierra.

“Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.”

-Isaac Newton.

Hace 5.000 años en Egipto, debido al crecimiento económico, se necesitaba un dispositivo que ayudara a comparar las masas de los productos que se comerciaban. Es así que surgió la balanza, la cual fue evolucionando hasta los tiempos actuales.

Una balanza funciona usando la fuerza de atracción gravitatoria de la Tierra sobre el objeto medido. Esta fuerza, que se llama peso, estira unos resortes o muelles ubicados dentro de la balanza y dependiendo de cuánto se estiren, se define la masa.

DESARROLLO

Imagínate que te encuentras en un debate con tus amigos y en un giro inesperado de 3\pi radianes pasan de hablar de los tiempos compuestos del modo subjuntivo a hacerse la pregunta: ¿se puede pesar la Tierra?

Bueno, hoy es tu día de suerte, porque al terminar de leer este artículo ya podrás enfrentar esa pregunta con mucha facilidad.

En un principio se podría pensar que haciendo una balanza muy grande y dándola vuelta, podríamos medir la masa de la Tierra. A lo que uno de tus amigos dice que no serviría, porque la balanza funciona gracias a la aceleración de la gravedad (g) generada por la masa de la Tierra, sobre el objeto a medir. Bueno, en realidad si se podría hacer, ya que tanto la Tierra como la balanza se aceleran entre sí. Sólo que la balanza, al tener una masa muy pequeña, genera una aceleración que se considera despreciable.

Vista desde el espacio de la Luna en el horizonte terrestre.
Figura 1: Luna en el horizonte. Fuente: Pinterest.

CALCULANDO LA MASA DE LA TIERRA CON UNA BALANZA

La fórmula que Newton planteó en su ley de gravitación universal, es:

F=k\frac{M \cdot m}{r^2}\:(1)

Donde k es una constante que se calculó experimentalmente denominada G y tiene un valor de 6,67\cdot 10^{-11} \frac{Nm^2}{Kg^2}.

Trabajando la fórmula y sabiendo que la fuerza es el producto de la masa por la aceleración, podemos plantear:

M_T=\frac{g \cdot (r+CM)^2} {G}\:(2)

Donde g es la aceleración que la balanza genera sobre la Tierra y CM es la distancia que hay desde la superficie hacia el Centro de Masas de la balanza. Donde si g=9,8\frac{m}{s^2} entonces la balanza tendría igual masa que la Tierra. Un poquito grande quedó la balanza… pero sin embargo, si nos fijamos bien en la fórmula, no hace falta que sea tan grande la balanza, porque al igualar las masas estamos haciendo que la relación Peso-Masa sea 1:1. Tranquilamente podríamos plantear una relación 1:1.000.000.000 ya que no importa la relación, siempre podrás calcular la masa de la Tierra con una balanza haciendo uso de la fórmula:

M_T=\frac{w \cdot r^2} {G \cdot m}\: (3)

Siendo w el peso de la balanza, m su masa y r el radio de la Tierra. Es decir que podrías agarrar la balanza de la cocina, darla vuelta, ver cual es su masa (recuerda pasar la masa de gramos a kilogramos), y calculando su peso con la aceleración de la gravedad de la Tierra, que es de 9,8\frac{m}{s^2}, podrías sacar la masa de la Tierra usando la expresión (3). ¿Qué esperas? La balanza no se pesa sola…

Datos de la Luna y su órbita alrededor de la Tierra.
Figura 2: Datos de la Luna y su órbita. Fuente: blogdisea

Al calcular la masa de la Tierra de esta manera se obtiene un valor bastante aproximado pero ¿a qué costo?… Necesitamos conocer el radio de la Tierra (si te interesa saber cómo, te dejo este artículo: Cálculo del radio de la Tierra), el cual tiene un valor de 6.357.000 m.

USANDO LA LUNA PARA SABER LA MASA DE LA TIERRA

¿Cuánto te dio? A mi me dio 5,94 \cdot 10^{24}Kg, es decir ¡¡¡casi 6.000 trillones de toneladas!!! Ahora hagamos el mismo cálculo con otro enfoque. ¿Y si relacionamos el período orbital de la Luna con la masa de la Tierra? Si volvemos a la fórmula (1) y usamos la segunda ley de Newton podemos llegar a la expresión:

\frac{4\pi^2\cdot r^3}{G \cdot T^2}=M_T \: (4)

Si prestan atención aquí aparece la constante de Kepler \frac{r^3}{T^2}=\frac{1}{k}. Este tema fue desarrollado en el artículo anterior Mecánica Orbital #1, pero al tratarse del sistema Tierra-Luna tendrá un valor diferente (9,58\cdot 10^{-14} \frac{s^2}{m^3}). Teniendo esto en cuenta, si hacemos el cálculo directo nos queda que la masa de la Tierra es de 6,17\cdot10^{24}Kg, bastante parecido al primer desarrollo.

Pero ¿Qué significa la fórmula 4? Hay una explicación más detallada en el apéndice, pero en pocas palabras. Dice que según la masa que tenga la Tierra, determinará cuanto tarda dar una vuelta los objetos que la orbiten en trayectorias circulares, según que tan lejos estén de la superficie Terrestre.

CONCLUSIONES

Lamentablemente la balanza más grande jamás construida sigue sin ser construida, pero ya algún día habrá oportunidad para que los ingenieros hagan balanzas de proporciones planetarias. Sin embargo, hasta ahora las matemáticas y la física nos evitaron la construcción de una balanza de 6,17 \cdot 10^{24}Kg para acelerar a la Tierra 9,8 \frac{m}{s^2}. Como se dijo en el principio del artículo, cuando tus amigos se pregunten si se puede pesar la Tierra, ya sabrás como afrontar el debate desde la física.

Con este nuevo artículo sumado a la saga, ya intentamos hacer reglas que miden distancias entre órbitas, o balanzas que miden masas planetarias, pero nos ahorramos el trabajo usando la mecánica orbital. ¿Qué nos queda?¿Hacer una esfera Dyson?… Gracias por leerme.

APÉNDICE

Si eres un fanático de las fórmulas, como yo, te dejo este pdf con la mayor parte del desarrollo matemático usado para el artículo. Desarrollo matemático.

BIBLIOGRAFÍA

Hernán Verdugo Fabiani – Ejercicios leyes de Kepler y gravitación universal.

μuon
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