SpaceX a la Luna - Mecánica orbital#3 El interludio

Tiempo de lectura: 9 minutos

INTRODUCCIÓN

En música se hace mención al interludio como una pieza musical que conecta 2 canciones o movimientos de una misma obra. Tras recorrer los cimientos de la mecánica orbital, Kepler y Newton en artículos anteriores, éste servirá para plantear conceptos fundamentales que nos conectarán con el final de la saga. ¿Me acompañas?

SpaceX es una empresa de fabricación aeroespacial fundada en 2002 por Elon Musk, con el objetivo de reducir los inmensos costos del viaje espacial. En su abanico de programas están la constelación Starlink, colonizar Marte, la nave Crew dragon, la nave espacial Starship y más. Imagínate ahora que te contactan diciéndote que te seleccionaron para llevar a cabo el alunizaje de 100 personas a través de la Starship. Si lo logras, existe la posibilidad de que te contraten para misiones más arriesgadas… Eso se verá en otro artículo.

Atención

Para el desarrollo profundo de este artículo se necesitan conocimientos previos de física y cálculo diferencial (derivar e integrar), por lo que sólo se presentarán las fórmulas que se usarán. En cualquier caso puedes visitar el apéndice para más detalles.

Los cohetes y las órbitas

En articulos anteriores se mencionó a las órbitas de los cuerpos celestes, “órbitas naturales”. Pero en este caso vamos a hacer referencia a los satélites artificiales que tienen órbitas las cuales fueron calculadas antes de ser lanzados. Es así como se logra crear mega constelaciones asombrosas como la Starlink.

How SpaceX is building Starlink, a low cost broadband ... — Figura 1: Órbitas de los satélites Starlink. Fuente: East Bay Times

¿Cómo llevar un cohete a órbita? Parte del tema fue desarrollado en este artículo Cañón de Newton. De manera básica, agarras un cohete y lo impulsas hasta alcanzar una altura deseada y aplicando Kepler puedes saber el período de su órbita.

Pero es importante saber que si queremos mantener una órbita alrededor de la Tierra debemos tener una velocidad y altura específicas. Haciendo cálculos matemáticos nos queda que la velocidad de una órbita circular es de la siguiente manera:

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$ (1)

Donde G es la constante de gravitación universal, M es la masa de la Tierra y r es el radio de una órbita.

Listo, ya tenemos la velocidad de nuestra órbita, ahora naturalmente queda pensar en el combustible necesario para llegar a esa órbita.

LA ECUACIÓN DEL COHETE

Se la conoce con este nombre (Rocket Equation) debido a que permitió responder por primera vez si era posible lograr velocidades que permitan realizar viajes espaciales. Fue desarrollada en el año 1903 (mucho antes de la aparición de los primeros cohetes espaciales) por un profesor de matemáticas de una escuela rural rusa llamado Konstantin Tsiolkovsky.

$\Delta v=g_0 \cdot I_{sp} \cdot ln(\frac{m_0}{m_f})$ (2)

En la ecuación (2) $\Delta v$ es la variación de la velocidad, $g_0$ es la aceleración de la gravedad en el nivel del mar, $I_{sp}$ es el impulso específico de un cohete (cantidad de tiempo en la que 1 kg de propelente hace un empuje de 1 kgf), $m_f$ o masa seca es la masa del cohete cuando consumió todo el propelente (combustible de cohete) y $m_0$ es la masa inicial del cohete. Podrás ver que en la fórmula aparece el logaritmo neperiano… ¿casualidad? No lo creo. Reiteradas veces el universo y la naturaleza nos demuestran que siguen ciertas proporciones, pero eso es harina de otro costal.

Como viajar a la luna. — Figura 2: Órbita de transferencia de Hohmann. Fuente: SKYLAB.

A partir de la ecuación 2 podemos crear maniobras orbitales, estas son formas de moverse en el espacio haciendo trayectorias curvas (en el espacio es muy difícil viajar en linea recta), una de ellas es la órbita de transferencia de Hohmann ¿Qué es esto? La verdad es difícil para mí explicarlo textualmente sin ser completamente antipedagógico así que busqué este video que lo explica muy bien.

Listo, ya con esto podemos descansar de tanta teoría, vamos a la práctica.

DE SPACEX A LA LUNA

Para llevar la colosal nave Starship de la empresa SpaceX a la Luna vamos a dividir nuestro viaje en 3 fases.

El parking.
La transferencia.
Y el alunizaje.

Antes de hacer cálculos y demás tenemos que conocer algunos datos como la masa de la Luna, entre otros, por lo que le vamos a pedir a nuestro supervisor de los headquarters de SpaceX que nos provea una tabla con dichos datos. A los 5 minutos trae la siguiente hoja informativa sobre la Tierra y la Luna. Además, trae otra:

Datos¹	1ra Etapa (Super Heavy)	2da etapa (Starship)
$M_P$	3400 tons	1200 tons
$T$	73.5 MN	12 MN
$I_{sp}$	330 s	380 s
$M_T$	5000 tons	(incluye masa de la estructura)

Tabla 1: Datos del cohete. Fuente: SpaceX.

Ahora sí que sí, podemos empezar con nuestro viaje.

El parking

Aquí te dejo un link para que puedas ver un esquema a escala de como sería la transferencia, en el centro del plano está la Tierra y las circunferencias son órbitas.

Figura 3: Transferencia de la órbita de parking a una de transferencia. Fuente: Elaboración propia.

Como ven nuestra Starship se encuentra a 800km sobre la superficie terrestre, aquí la nave tiene una velocidad de $7451 \frac{m}{s}$ , haciendo uso de algunos conceptos físicos, podemos saber que necesitamos aumentar nuestra velocidad unos $2994 \frac{m}{s}$ para pasar de la órbita circular a la elíptica (Figura 3).

Si hacemos uso de la fórmula 2 nos queda que debemos quemar todo el propelente de la primera etapa (3400 tons) para aumentar $1717 \frac{m}{s}$ . Ahora como el Super Heavy (la primera etapa del cohete) se quedó sin combustible, lo desacoplamos de la Starship (la segunda etapa del cohete). Y si volvemos a hacer los cálculos, podremos saber que necesitamos quemar 662 tons de propelente para llegar a la velocidad para transferirnos ( $10442\frac{m}{s}$ ).

La transferencia

Felicitaciones, has logrado ponerte en rumbo hacia la Luna, se escuchan exclamaciones de euforia desde la sala de control de SpaceX, sólo te queda llegar a la Luna y tendrás tu oportunidad de volver a trabajar en la empresa y capaz, quien sabe, podrías llegar a trabajar codo a codo con Elon Musk…

Sé que puede ser confuso pensar en órbitas, como agrandarlas, moverlas o rotarlas. Solo es cuestión de acostumbrarnos, ya que en general para las personas puede ser un tema innovador.

Ahora sí volvamos a nuestros papeles, si retomamos nuestro primer artículo de las Leyes de Kepler y aplicamos la segunda Ley a nuestra órbita nos queda:

${ V_{apoapsis} \: r_{apoapsis}=V_{periapsis} \: r_{periapsis}}$ (3)

Ahora veamos que datos tenemos:

$V_{apoapsis}$ (es la velocidad calculada en la primera fase “el parking“.)
$r_{apoapsis}$ (es la altura inicial de la órbita de parking mas el radio de la Tierra.)
$V_{periapsis}$ (no la conocemos)
$r_{periapsis}$ (es la distancia entre el centro de la Tierra y la órbita que vamos a tomar en la Luna)

Al despejar nos queda que $V_{periapsis}$ es de $192 \frac{m}{s}$ , lo cual es un problema para nosotros ¿Por qué? Eso lo veremos en la última fase.

Al ser una órbita, tiene un período, es decir cuanto nos tardaremos en ir hasta la Luna, el período se puede calcular usando la última fórmula desarrollada en segundo artículo de mecánica orbital donde calculamos la masa de la Tierra. Esta fórmula es:

$\frac{4\pi^2\cdot r^3}{G \cdot M_T}=T^2$ (4)

A la expresión (4) la dividimos por 2 del lado izquierdo ya que un período consiste en la ida y en la vuelta, y nosotros queremos la ida. Haciendo el cálculo directo nos queda que tardaríamos 5,09 días en ir… y hay gente que se queja de un viaje en coche de 5 horas.

El alunizaje

Volviendo al problema que suponía la baja velocidad en el apogeo de la órbita, podríamos partir de que en un principio apunté a tener una órbita a 50 km sobre la superficie lunar, donde si queremos mantener una órbita necesitamos una velocidad específica como dijimos en la ecuación (1). Si hacemos los cálculos nos queda una velocidad de $1454 \frac{m}{s}$ frente a nuestros $192 \frac{m}{s}$ , en otras palabras si nos acercamos a la Luna sin acelerar, chocaremos la nave con sus tripulantes…

Figura 4: Representación no escalada del viaje. Fuente: elaboración propia.

Aquí en la figura 4 puedes ver mejor como sería nuestro viaje, en el punto 1 quemamos todo el combustible del Super heavy y en el punto 2 es donde tendríamos inconvenientes con la velocidad.

Pero no nos entretengamos, aquí vinimos a intentar dejar la menor cantidad de daños. Si la velocidad es pequeña, la aumentamos. ¿Cómo? quemando propelente, por lo que usamos la fórmula (2) y así calculamos que será de 578 tons (sobran 84 tons de propelente). Listo, damas y caballeros, estamos en órbita lunar.

Cierre

Espero que hayas disfrutado de pasear la Starship por el vecindario, los encargados de SpaceX quedaron impresionados con el trabajo que realizaste. Fue notable lo lejos que llegó la Starship, por lo que te van a contactar próximamente para un nuevo proyecto en el que están trabajando… Gracias por leerme.

¹Los datos hacen referencia a: