QS - Modelo de Drude. Fundamentos básicos.

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Hasta ahora nunca habíamos dedicado ningún post a lo largo de nuestra corta existencia sobre la física del estado sólido. Esta disciplina constituye uno de los temas más candentes dentro de la física actual, con numerosos avances día tras día. Hoy os quiero hablar del modelo de Drude, uno de los modelos más sencillos planteados para la descripción de los metales. $^1$

Destripando el modelo de Drude.

Drude se encuentra los primeros problemas.

La descripción de los metales no es algo trivial a simple vista. Debemos hacer un esfuerzo de comprensión y entender que hace unos siglos no se tenían nociones concretas del mundo cuántico. Es por ello que Drude debe enfrentarse a este problema sin una idea clara de lo que consiste el comportamiento interno de los electrones usando conceptos mecanocuánticos. Debido a esto, el modelo se plantea desde una visión puramente clásica, donde hay algunas asunciones que carecen realmente de un fundamento algo más sólido. Aún así, el modelo sigue siendo una buena herramienta a la hora de describir cualitativamente lo que ocurre dentro del metal. También para tener una idea en primera aproximación que más tarde nos haga profundizar en el entendimiento de su funcionamiento interno.

Asunciones principales del modelo de Drude.

Dicho esto, el modelo de Drude parte de algunas asunciones principales [1]:

Entre colisiones los electrones no se ven afectados por los campos que producen los iones ( átomos con carga positiva) (aproximación de electrón libre) o los otros electrones dentro del metal (aproximación de electrón independiente). Es decir, en ausencia de cualquier campo externo, los electrones tras una colisión seguirían una línea recta. En el caso de la existencia de campo externo introducido, la ecuación de movimiento estaría descrita por la segunda ley de Newton.
Las colisiones en el modelo de Drude alteran de manera instantánea y abrupta la velocidad de los electrones. Drude además considera que este choque es producido contra los denominados cores (electron cores) del metal. Los cores son las estructuras compuestas por los electrones ligados al ion que no están libres. Una imagen esquemática se observa en la figura 1.
Existe un parámetro muy importante de este modelo, el denominado tiempo de relajación $\tau$ . Este nos da una idea del tiempo medio que tarda un electrón en salir de una colisión y llegar a otra. Este nos resultará útil a la hora de calcular, entre otras cosas, la coductividad predicha por el modelo y el número de Lorentz.
La última asumción es, quizá la menos intuitiva. Resulta que el modelo de Drude asume que tras cada colisión, el electrón adquiere una nueva velocidad que solo está relacionada directamente con la temperatura asociada a la región donde se produjo la colisión. Así se dice que cada colisión mantiene localmente el equilibrio termodinámico. $^2$

Figura 1: Imagen esquemática de cómo se establece el modelo de Drude dentro del metal. En el fondo vemos que se trata de un modelo muy simple donde los electrones están libres y lo único que importa son las colisiones con los cores. Imagen publicada por Coleen Conley en su trabajo Presentation on theme: “Ch. 6-8 Question: Why do some materials conduct and others don’t”, [2]

Matemáticas en el modelo de Drude. Cálculo del número de electrones que se transportan.

Para los amantes del formalismo habitual de las teorías físicas en este apartado me detendré brevemente en hacer algunas notas sobre las matemáticas empleadas en el modelo. Vamos a calcular de manera simple cuál es el número de electrones involucrados en el fenómeno de transporte. Para empezar, una vez definido $\tau$ , es posible alcanzar la probabilidad de que se produzca una colisión en un intervalo infinitesimal $dt$ . Esta es

$P_{colision}=\frac{dt}{\tau}$ _{Ecuación 1.}

Teniendo en cuenta esta asumción se puede calcular fácilmente la probabilidad de que un electrón este $t$ segundos sin colisionar y sufra una colisión inmediatamente después $^3$ :

$P(t)=\frac{dt}{\tau}e^{-t/\tau}$ _{Ecuación 2}

Por tanto si llamamos a n la densidad de electrones dentro del metal, llegamos a que el número de electrones total que en hayan estado cierto tiempo $t$ sin colisionar y hayan sufrido una colisión será

$N=n\frac{dt}{\tau}e^{-t/\tau}$ _{Ecuación 3.}

Testando la propuesta de Drude.

Aplicación a corrientes continuas. Predicción de la conductividad eléctrica del metal.

Vamos a seguir con algunas aplicaciones del modelo de Drude. En este caso, vamos a llegar a obtener la ley de Ohm siguiendo los principios generales de la teoría desarrollada. Imaginemos un campo eléctrico externo $\vec{E}_{0}$ que se añade al metal. Los electrones libres en el interior empezarán a transportarse. Imaginemos que uno adquiere cierta velocidad $v$ (Trabajaremos en una dimensión) tras una colisión. Esta velocidad es posible obtenerla a partir de la segunda ley de Newton:

$\vec{F}_{externa}=-e\Vec{E}_{0}=m\vec{a}=m\frac{d\vec{v}}{dt}$ _{Ecuación 4}

donde e es la carga del electrón. Trabajando con escalares llegamos a

$\frac{dv}{dt}=-\frac{eE_{0}}{m}$ _{Ecuación 5}

De una integración sencilla se obtiene una expresión para la velocidad de un electrón

$v(t)=-\frac{eE_{0}}{m}t$ _{Ecuación 6}

y de aquí podemos deducir la velocidad promedio con la que calcularemos la corriente de carga

$<v>=\frac{1}{n}\int_{0}^{\infinite}-\frac{eE_{0}}{m}tn\frac{dt}{\tau}e^{-t/\tau}=\frac{-eE_{0}\tau}{m}$ _{Ecuación 7}

Donde hemos usado el número de electrones N que tendrán esta velocidad y que se calculó en el apartado anterior. Finalmente podemos hacer uso de la definición de corriente de carga deducida del electromagnetismo clásico [3]:

$\vec{J}=-ne<\vec{v}>=\frac{ne^{2}\tau}{m}\vec{E}_{0}=\sigma\vec{E}_{0}$ _{Ecuación 8},

por tanto la conductividad eléctrica que predice el modelo de Drude es:

$\sigma=\frac{ne^{2}\tau}{m}$ _{Ecuación 9}

Conductividad térmica, una deducción aproximada.

Otro parámetro importante para testar la bondad de la teoría es la conductividad térmica del metal. Por definición, la conductividad térmica aparece en la ecuación seguida de la ley de Fourier

$J_{q}=-\kappa_{e}\nabla T$ _{Ecuación 10},

vamos a encontrar de manera aproximada esta relación en una dimensión usando el modelo de Drude. Para ello imaginemos una barra fina que se somete a un gradiente de temperatura. Sabemos que el flujo de energía debido a este gradiente irá relacionado con el flujo de partículas que corten una cierta sección X. Pero estos electrones deben llegar a cruzar esa sección y para ello necesitan haber volando en promedio una cierta distancia sin colisionar. Siguiendo esta intuición, solo aquellos electrones que se encuentren a una distancia $v_{x}\tau$ de la sección podrán cruzarla. Pongamos que dicha sección se sitúa en un punto x a lo largo del eje que de la barra. Siendo $\epsilon$ la densidad de energía, el número total de partículas que están cruzando la sección es

$J_{q}=\frac{1}{2}nv[\epsilon(x-v_{x}\tau)-\epsilon(x+v_{x}\tau)]\approx-nv_{x}^{2}\tau\frac{d\epsilon}{dx}$ _{Ecuación 11},

donde en el último paso hemos usado la propia definición de derivada. Por último, usando la regla de la cadena

$J_{q}\approx-nv_{x}^{2}\tau\frac{d\epsilon}{dT}\frac{dT}{dx}$ _{Ecuación 12},

y asumiendo una distribución isótropa de velocidades en el metal, es decir $<v_{x}>=<v_{y}>=<v_{z}>=\frac{1}{3}v^{2}$ , tendremos finalmente

$J_{q}=-\frac{1}{3}v^{2}\tau c_{v}\nabla T$ _{Ecuación 13}

donde también se ha hecho uso de la definición del calor específico

$c_{v}=n\frac{d\epsilon}{dx}$ _{Ecuación 14},

de esta forma obtenemos finalmente el valor para la conductividad térmica

$\kappa_{e}=\frac{1}{3}v^{2}\tau c_{v}$ _{Ecuación 15}

Conclusiones del modelo de Drude, problemas que presenta.

Con los dos parámetros principales que queríamos deducir para los metales, podemos llegar a obtener otro que también resulta interesante, el número de Lorentz. Este fue obtenido por Drude con un valor de $^4$

$\mathcall{L}=\frac{\kappa_{e}}{\sigma T}=1.11\cdot10^{-8}\text{ (V/K)}^{2}$ _{Ecuación 16},

que es un valor sorprendentemente parecido al valor real medido experimentalmente a temperatura ambiente. Pero, aunque la teoría de Drude predice bien este valor, se produce por una compensación de errores. A temperatura ambiente el calor específico electrónico es unas 100 veces menor que el calculado. Por otro lado, la velocidad cuadrática media de los electrones es unas 100 veces mayor que la clásica. Por otro lado, este valor no dependía de $\tau$ , algo en lo que falla a nivel conceptual el modelo de Drude. Y es que cuando se usan modelos más sofisticados es posible ver algunos errores en los que cae Drude: no llega a explicar bien el origen de las colisiones, no tiene en cuenta que no todos los electrones van a contribuir a la conductividad, la masa del electrón vendrá corregida por su masa efectiva, que es realmente la que siente cuando esta en el material…etc. Esto y otras cosas hacen que el modelo falle, pero aún así sirva para poder explicar muchas cosas de forma cualitativa y en una primera aproximación.

Notas al pie de página.

$^1$ Para quien le pueda interesar, hace unos meses publicamos un artículo (un poco duro, lo admito) sobre el comportamiento de los electrones cuando se forma una enana blanca. Tal artículo usa física estadística para poder llegar a un valor límite de masa para las estrellas que determina si su final está ligado a convertirse estas en una agujero negro o en una enana blanca. El cual hace uso del modelo de Chandrasekhar.

$^2$ De hecho, siendo un modelo que asume aproximaciones de electrón libre e independiente, este es el único mecanismo que nos queda, algo que cita literalmente el libro de Ashcroft y Merin.

$^3$ Es fácil llegar a esta expresión, si el lector quiere, le animo profundamente a que lo intente demostrar. Si no lo consigue y tiene interés, puede contactar conmigo y estaré encantado de explicárselo.

$^4$ Para obtener el valor de este parámetro (concretamente para el de la conductividad térmica), Drude hizo un cálculo usando puramente ecuaciones clásicas. El calor específico lo obtuvo de la ecuación $c_{v}=\frac{3}{2}\kappa_{b}n$ y para la velocidad $\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{3}{2}\kappa_{b}T$