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Introducción al movimiento

Los movimientos periódicos siempre me fascinaron, las órbitas de los planetas, los giroscopios (como el de la imagen izquierda), entre otros. Hoy analizaremos uno muy importante, el movimiento armónico simple. Este consta de un objeto que describe un movimiento de vaivén alrededor de un punto.

Desarrollo

En el artículo de hoy haremos la resolución parcial de un ejercicio de un examen final de la Lic. en física. Analizaremos el movimiento de una partícula sujeta a fuerzas gravitacionales. En lo personal me hubiera gustado tener este ejercicio en un examen ya que hay 2 formas para resolverlo, una muy larga y otra bastante simple y directa. Nosotros desarrollaremos ambas.

SOLUCIÓN 1 (análisis del movimiento)

Este seria nuestro sistema inicial donde tenemos dos planetas de masa M alejados entre ellos una distancia de 2L. Justo en el medio podemos encontrar una masa m pequeña que está alejada una distancia s del centro de las 2 masas. Lo que queremos calcular es la posición respecto del tiempo, es decir s(t) y ver si se trata de un MAS

Primero habría que analizar las fuerzas que se aplican sobre m, por lo que aplicamos la segunda ley de Newton \frac{dp}{dt}=\sum F. Si se observa con cuidado podemos encontrar que la fuerza gravitatoria de uno de los planetas (llamémoslo planeta A) atrae la masa m hacia el, pero al haber otro planeta (planeta B) con la misma masa y ubicado del otro lado da como resultado que m no se acerca a ninguno de los planetas. Sin embargo la masa pequeña si se puede mover por la línea s ya que la fuerza combinada de ambos planetas no se cancela en el sentido vertical.

Esto matemáticamente sería:

(1)   \begin{equation*}\sum F_x=ma_x\end{equation*}

G\frac{Mm}{s^2+L^2}sen\phi-G\frac{Mm}{s^2+L^2}sen\phi=ma_x

0=ma_x

Si la aceleración en x es 0 entonces quiere decir que no se mueve en esa dirección.

(2)   \begin{equation*}\sum F_y=ma_y\end{equation*}

G\frac{Mm}{s^2+L^2}cos\phi+G\frac{Mm}{s^2+L^2}cos\phi=ma_y

2G\frac{M}{s^2+L^2}cos\phi=a_y

En el desarrollo de la ec. 2 la aceleración no es 0 por lo tanto si se mueve en esa dirección, como habíamos analizado anteriormente.

¿Qué sigue ahora?

En un curso general de física se enseña que a(t)=\frac{dv_{(t)}}{dt} la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo en caso de que la aceleración dependa del tiempo. Si nos fijamos arriba a_y nos quedó que esta varia en función de s\:y\: \phi por lo que deberíamos simplificar esa expresión.

Con trigonometría sabemos que cos\phi=\frac{s}{\sqrt{s^2+L^2}} y así nos liberamos de ese ángulo opresor de variables. Ahora bien no hay ángulos pero tenemos una suma de cuadrados:

2G\frac{M}{s^2+L^2}\frac{s}{\sqrt{s^2+L^2}}=a_y

(3)   \begin{equation*}2G\frac{Ms}{(s^2+L^2)^{\frac{3}{2}}}}=a_y\end{equation*}

Hace 2400 años nuestro amigo Pitágoras nos enseñó que en un triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es la hipotenusa al cuadrado y en la ecuación 3 podemos ver la suma de los catetos al cuadrado, elevado a 3/2 por lo que si sustituimos s^2+L^2 por h^2 quedaría:

(4)   \begin{equation*}2G\frac{Ms}{h^3}=a_y\end{equation*}

Ahora bien retomando el tema de la derivada de la velocidad es la aceleración, en la ec. 3 nos encontramos con a_y(s) por lo que si aplicamos la regla de la cadena nos queda que a_y=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}. Sabiendo que la derivada de la posición respecto del tiempo es v la ec. 3 se transforma en:

(5)   \begin{equation*}2G\frac{Ms}{h^3}=\frac{dv}{ds}v\end{equation*}

Ahora con un poco de matemagia (el arte de obtener los resultados correctos con procedimientos incorrectos) pasamos el diferencial s multiplicando al otro lado, quedando:

\int_0^s2G\frac{Ms}{h^3}ds=\int_0^{v_m}vdv

\sqrt{4GM(\frac{1}{L}-\frac{1}{h})}=v

Y así obtenemos la velocidad en función de la posición, quedaría por ultimo sacar la posición pero los procedimientos algébricos para llegar a ese resulto son extensos usando el método que venimos usando hasta ahora. Pero les comento, la posición sale de resolver esta ecuación diferencial de segundo orden no lineal:

(6)   \begin{equation*}2GM\frac{x}{(x^2+a^2)^{\frac{3}{2}}}}-\frac{d^2x}{dx^2}=0\end{equation*}

Al final termina dando una ecuación de movimiento periódico es decir que si es un MAS.

SOLUCIÓN 2 (análisis gráfico)

Si interpolamos las gráficas de velocidad en función de la posición (función azul), la de la aceleración (función morada) y la gráfica de la energía potencial (función marrón) se puede ver que en x=0 la velocidad y la aceleración son nulas y la potencial es la mínima.

Las primeras 2 funciones ya sabemos como las podemos averiguar, pero la de energía potencial en este caso se resuelve haciendo una simple integral \int F\cdot ds =U_g, la cual da como resultado.

(7)   \begin{equation*}U_{(s)}=-2GM(\frac{1}{L}+\frac{1}{\sqrt{s^2+L^2}})\end{equation*}

Como dijimos antes, en x=0 la energía potencial es mínima por lo que nos indica un punto de equilibrio estable, y resulta que si hay un punto de equilibrio estable, tienes un MAS.

Pero, ¿Qué son los puntos de equilibrio? Estos puntos suelen indicar la cantidad mínima de fuerza para llevar un objeto hasta el infinito, cuando un punto de equilibrio es inestable la fuerza es casi 0. Imagínate un lápiz vertical, con cualquier fuerza aplicada sobre el (por mas pequeña que sea), este se caerá (punto de equilibrio inestable). En cambio si quieres remodelar tu casa y derribar una pared con tus manos al estilo sansón, necesitaras mucha fuerza (punto de equilibrio estable).

CIERRE

El MAS es una parte importante de la física ya que tiene aplicaciones en muchos lados, en ingeniería civil, mecánica cuántica, en la construcción de dispositivos mas precisos. Un ejemplo notable donde no se consideró los efectos de este fenómeno es el puente de Tacoma Narrows, si quieres saber más al respecto te dejo este artículo.

Gracias por leerme.

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