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mayo 7, 2022

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El movimiento en sistemas no inerciales suele ser una de las muchas cosas que no se suelen entender inicialmente en física. Es tan importante para materias como relatividad especial o relatividad general. En general se muestra un problema reticente en cualquier cálculo que queramos hacer usando mecánica newtoniana. Hoy hablaremos un poco sobre ello.

Entendiendo los sistemas de referencia no inerciales.

Sistema de referencia inercial y no incercial.

Lo primero que debemos hacer es ponernos una situación concreta para poder llegar a deducir todas las componentes de la velocidad y la aceleración. Imaginemos un sistema de referencia inercial (considerado fijo) y otro sistema no inercial como se muestra en la figura 1 [1].

Figura 1. Imagen esquemática de dos sistemas de referencia, uno inercial y otro no inercial. También se esquematizan los distintos vectores que referencian un objeto puntual. Esta notación es la que seguimos a lo largo del artículo.

El sistema de referencia inercial sería el compuesto por los ejes xyz y el no inercial por el trío XYZ. Ambos referencian un objeto puntual. Asumimos inicialmente un movimiento completo, es decir: traslación y rotación, por eso aparece nuestra velocidad angular $\omega$ .

Velocidad en sistemas de referencia no inerciales.

Para obtener la velocidad de la partícula desde el punto de vista del sistema de referencia inercial, haremos uso de las transformaciones clásicas de Galileo. En el caso de la relatividad especial, estas transformaciones serían las de Lorentz. Siguiendo nuestro ejemplo, si el objeto puntual se moviera en solidaridad con nuestro sistema de referencia no inercial (que está girando), la velocidad de este sería:

$\omega\times r$ _{Ecuación 1}

si finalmente consideráramos que la partícula también se mueve respecto del sistema de referencia no inercial ( $v_{NI}$ ), obtendríamos para la velocidad vista desde el sistema de referencia inercial:

$v_{I}=v_{NI}+\omega\times r$ _{Ecuación 2}

Esta expresión es general para cualquier vector [2] y alude a cómo cambian las derivadas temporales en dos sistemas de referencia distintos. Sobre todo cuando uno de ellos está girando. Si, además, nuestro sistema de referencia móvil tuviera su propia velocidad $v_{0}$ , las componentes completas de este serían

$v_{I}=v_{0}+v_{NI}+\omega\times r$ _{Ecuación 3},

las componentes que hacen referencia a la velocidad del sistema de referencia NI y a la componente de la velocidad de arrastre dada por el producto de $\omega$ juntas, se le llama velocidad de arrastre total.

Aceleración en sistemas de referencia no inerciales.

Una vez vista la velocidad que se deduce de los sistemas no inerciales, vamos a proceder a trabajar con la aceleración deducida de este tipo de movimientos. En realidad, este es el parámetro esencial que queremos calcular, puesto que es el que aparece en la segunda ley de Newton. Para llegar a su expresión, simplemente vamos a hacer la derivada temporal en la ecuación 3. Esta derivada temporal es respecto el referencial inercial (fijo.) Veamos qué sale:

$\frac{dv_{I}}{dt}_{I}=\frac{dv_{0}}{dt}_{I}+\frac{dv_{NI}}{dt}_{I}+\frac{d(\omega\times r)}{dt}_{I}=\frac{dv_{0}}{dt}_{I}+\frac{dv_{NI}}{dt}_{NI}+\omega\times v_{NI}+$

$+\frac{d(\omega\times r)}{dt}_{NI}+\omega\times (\omega\times r)=\frac{dv_{0}}{dt}_{I}+\frac{dv_{NI}}{dt}_{NI}+\omega\times v_{NI}+\frac{d\omega}{dt}\times r+\omega\times\frac{dr}{dt}_{NI}$ _{Ecuación 4}

De esta forma podemos reescribir la aceleración en función de todas sus componentes relativas de la forma

$a_{I}=a_{NI}+a_{0}+\dot{\omega}\times r+\omega\times (\omega\times r)+2\omega\times v_{M}$ _{Ecuación 5}

Es importante que podamos identificar cada una de las componentes de la aceleración que aparecen aquí. El término $a_{NI}$ hace referencia a la aceleración vista desde el referencial no inercial (móvil). Por otro lado, $a_{0}$ es la aceleración del propio sistema de referencia, si la tuviera. $\dot{\omega}\times r$ es la aceleración con componente tangencial en el giro. Siguiendo esto, $\omega\times (\omega\times r)$ es la componente normal o centrípeta de la aceleración. Por último, al término $2\omega\times v_{M}$ se le llama habitualmente aceleración de Coriolis. Es importante entender que lo que aparece en los sistemas de referencias no inerciales son distintas componentes para la aceleración. Aunque esto es así, lo que se suele hacer en muchos casos es hablar de fuerzas ficticias. Esto he comprobado que normalmente lleva a ciertas confusiones.

Referenciales no inerciales y segunda ley de Newton.

Alusión a las fuerzas ficticias.

Cuando estamos realizando un problema básico haciendo uso de dinámica clásica todo lo que podamos facilitarnos la vida será mejor. Es por ello que muchas veces, sobre todo en la etapa que precede a la universidad, hemos escuchado hablar de las fuerzas ficticias. No se me asuste, que aquí estamos para resolver este problema. De hecho, sin darnos cuenta, ya lo hemos resuelto. Ya hemos visto todas las componentes de la aceleración que aparecen en un movimiento general. Cuando usamos nuestra famosa segunda ley de Newton, queremos hacerlo con el menor de los problemas. Para ello, lo ideal sería poder trabajar con la aceleración en sí que vemos del objeto, la que mostraría su trayectoria aparentemente. Pero si solo queremos tener en cuenta esta componente de la aceleración, para nosotros $a_{NI}$ , ¿qué hacemos con el resto? Pues muy sencillo, las convertimos en fuerzas:

$F_{reales}-ma_{coriolis}-ma_{t}-ma_{centrípeta}-ma_{o}=F_{reales}-F_{coriolis}-F_{t}-F_{centrípeta}-F_{o}=ma_{NI}$ _{Ecuación 6}

De aquí es de donde se deduce el hecho de fuerzas ficticias. De hecho, probablemente al lector juvenil la que más le suene sea la fuerza centrípeta. ¡Cuántos dolores de cabeza nos ha traído esta extraña magnitud!

Entendiendo lo básico: componente tangencial y centrípeta (central) de la aceleración.

En relación a lo expuesto en el apartado anterior, siempre ha habido un tema recurrentemente problemático en los alumnos de secundaria. Tanto yo en esa etapa de estudiante como ahora que he dado clases me he dado cuenta de lo mal que se entienden los problemas donde hay algún tipo de giro. ¡La famosa aceleración centrípeta! Resulta que, como de costumbre, se suele pasar rápido por estos conceptos y no se llega a transmitir bien lo que significan. Ya hemos hablado de una situación muy general. Sin embargo, ahora vamos a intentar restringir un poco el problema. Vamos a asumir un objeto que gira simplemente a una distancia fija de un eje de giro. Por supuesto sobre un plano. De esta forma, solo algunas componentes de la aceleración sobreviven. Llegamos a las componentes tangencial y normal, con las que se solía trabajar en la mayoría de los ejercicios. Normalmente una iba asociada al cambio en el módulo de la velocidad (central) y otra al cambio en la dirección de esta (central). Además, ambas tenían unas expresiones muy características que las relacionaban con otras magnitudes. La figura 2 [3] muestra un esquema de lo que hemos hablado.

Cursos 0 — Figura 2. Componentes de la aceleración debido a un movimiento circular. Ambas componentes tienen unas expresiones concretas.

Llegar a las expresiones usuales para representar la aceleración en estos problemas es fácil haciendo uso de la ecuación 5. Sin más que tener en cuenta que las únicas componentes que sobreviven son las ya mencionadas tangencial y normal. Por otro lado, se debe tener en cuenta que, para la componente tangencial, la aceleración angular ( $\dot{\omega}\equiv\alpha$ ) es siempre perpendicular al vector que representa a R. Entonces el producto vectorial se reduce al producto de módulos $\alpha R$ . Por otro lado, siguiendo la misma idea, el triple producto que aparece para la aceleración central queda en

$a_{c}=\omega^{2}R=\left(\frac{v}{R}\right)^{2}R=\frac{v^{2}}{R}$ _{Ecuación 7}

Así obtenemos la expresión usual

$a=\frac{v^{2}}{R}u_{c}+\alpha Ru_{t}$ _{Ecuación 8}

Un baño de realidad.

Así es como se trabaja en mecánica clásica con los sistemas no inerciales. Nada más lejos de la realidad, simplemente la ecuación de Newton se ve afectada porque aparecen nuevas componentes en la aceleración. Todos aquellos artilugios que no entendíamos en secundaria no son tal. Las fuerzas aparentes no son más que componentes de la aceleración reescritas en términos de fuerzas. La aceleración central o centrípeta no deja de ser otra componente más de esta parafernalia matemática. Espero que de ahora en adelante el lector tenga siempre claro en qué consistía todo este formalismo que normalmente no suele ser muy bien entendido.

Referencias

Granados, Andrés. (2002). Mecánica de Sistemas Materiales Continuos desde Marcos de Referencia No Inerciales. Boletin Tecnico/Technical Bulletin. 40. 59-94.
M. R. O. G. y José A. Ibáñez Mengual, Lecciones de Física (Mecánica 1). Monografías y textos, 2011
http://ocw.innova.uned.es/fisicas/contenidos/cinematica/m_curvilineo/m_curvilineo_02.html

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Miguel Jimenez Ortega

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Graduado en Física por la Universidad de Granada, máster en física teórica en la Universidad de Valencia. Amante de la divulgación científica.

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Sobre el movimiento en sistemas no inerciales.